立体几何及空间想象能力真题赏析

第16讲立体几何及空间想象能力真题赏析题一：将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23，11AB长为3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求三棱锥C-O1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成角的大小.题二：如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.(Ⅰ)求证：EG∥平面ADF；(Ⅱ)求二面角O-EF-C的正弦值；(Ⅲ)设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.题三：如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，=90ACB，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.(I)求证：BF⊥平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.题四：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，54AECF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置，10OD.(I)证明：DH平面ABCD；(II)求二面角BDAC的正弦值.第1讲立体几何及空间想象能力真题赏析题一：（1）312；（2）45°.题二：（Ⅰ）证明：法一：找AD中点M，连接GM，FM，如图因为点G为AB的中点，所以GM//BO，GM=BO，又因为四边形OBEF为矩形，所以BO//EF，BO=EF，所以GM//EF，GM=EF，即四边形MGEF为平行四边形，所以FM//EG，因为EG面ADF，FM面ADF，所以EG∥平面ADF；法二：连EO，OG，OD，如图因为O为正方形ABCD的中心，所以OD=OB且二者在一条直线上，因为四边形OBEF为矩形，所以BO//EF，BO=EF，所以DO//EF，DO=EF，即四边形DOEF为平行四边形，所以FD//OE，又因为点G为AB的中点，所以GO//AD，所以面EGO//面FAD，所以EG∥平面ADF；法三：因为四边形OBEF为矩形，所以BO⊥OF，又因为平面OBEF⊥平面ABCD，平面OBEF∩平面ABCD=OB，所以OF⊥平面ABCD，又因为四边形ABCD为正方形，所以可建立如图所示坐标系，依题意可得(1,1,0),(1,1,0),AD(0,0,2),(1,1,2),(1,0,0),FEG(0,1,2),(2,0,0),EGAD(1,1,2),AF设平面ADF的法向量为(,,)nxyz，则2020xxyz，不妨设1z，解得(0,2,1)n，可得0EGn，又因为EG面ADF，所以EG∥平面ADF；(Ⅱ)33；(Ⅲ)721题三：(I)证明：因为=90ACB，所以AC⊥BC，因为平面BCFE⊥平面ABC，所以AC⊥面BCFE，所以AC⊥BF，在平面BCFE内作高FM，如图因为BE=EF=FC=1，BC=2，所以12MC，所以32FM，3FB，在△FBC中，222BCFCFB，所以BF⊥FC，所以BF⊥平面ACFD.(II)34题四：(I)证明：∵54AECF，∴AECFADCD，∴EFAC∥．∵四边形ABCD为菱形，∴ACBD，∴EFBD，∴EFDH，∴EFDH．∵6AC，∴3AO；又5AD，AOOD，∴4OD，∴1AEOHODAD，∴3DHDH，∴222'ODOHDH，∴'DHOH．又∵OHEFHI，∴'DH面ABCD．(II)29525.