西南交通大学理论力学课件11

第11章达朗伯原理(动静法)※引言※达朗伯原理※惯性力※刚体惯性力系的简化※结论与讨论※动绕定轴转动刚体的轴承动反力引言引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——达朗伯原理（动静法）。达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束反力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。工程实际问题§11.1惯性力OrvmOmmgnFTan是小球给绳子的反力，即是惯性力TFm力FT就是通常所说的向心力。小球将给绳子以反作用力,反作用力就是小球的惯性力，通常所说的离心力。TFTFmaFg质点惯性力的大小等于质点与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，它不作用于质点本身而作用于施力物体上。sFgFNFmaxzyOmAFN——约束力；F——主动力；§11.2达朗伯原理(动静法)根据牛顿定律ma＝F+FNF+FN－ma＝0Fg＝－maF+FN＋Fg＝0Fg——质点的惯性力。非自由质点的达朗伯原理作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。一.质点达朗伯原理Fg＝－maF+FN＋Fg＝0应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法达朗伯原理(动静法)1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。非自由质点达朗贝尔原理的投影形式000gNgNgNzzzyyyxxxFFFFFFFFF飞球调速器的主轴O1y1以匀角速度ω转动。试求调速器两臂的张角α。设重锤C的质量为m1，飞球A，B的质量各为m2，各杆长均为l，杆重可以忽略不计。例题1BA1O1x1yC方向如图示。应用质点达朗伯原理，列出两投影方程：sin2*mlF,0xF0sin)(sin212FFml,0yF0cos)(21FFmg2F1Fg2m*FBBA1O1x1yC当调速器稳定运转时，惯性力（即离心力）F*垂直并通过主轴，其大小为解：1Fg1mC1Fcos211gmF如把重锤C简化为一质点，它在杆AC，BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出2121coslmmm以F1值代入前两式，可解出由此式可知，调速器两臂的张角α与主轴转动角速度ω有关。利用这个结果可以选择m1，m2，l等参数，使在某一转速ω下，角α为某一值，从而可以求得重锤C的相应位置，带动调节装置进行调速。Olθ如图所示一圆锥摆。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的一端系在固定点O，并与铅直线成θ=60º角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力F的大小。例题2sin2n*lvmmaF0*FgFm,0bF0cosmgF,0nF0sin*FF取上式在自然轴上的投影式，有：解：OlθntbmgFF*以小球为研究的质点。质点作匀速圆周运动，只有法向加速度，在质点上除作用有重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力F*，如图所示。根据达朗伯原理，这三力在形式上组成平衡力系，即解得：N6.19cosmgF12sm1.2sin－mFlv二.质点系的达朗伯原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFg1Fg2Fgim1mim2质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系niF,,F,,F,F21niNN2N1NF,,F,,F,Fnigg2g1g,,,,,FFFF对质点系应用达朗伯原理，得到0)()()(0giONiOiOgiNiiFMFMFMFFF例题3已知：AB杆的质量为m，长为l，绕AC轴的角速度为。求：BC绳的张力及A处的约束反力。ACBABxFAxFTmg解：取AB杆为研究对象dFgFgdxxlmdFgsin2sin21sin202mldxxlmFlg0000mgFYFFFXAyTgAx0sin2cos32cos0lmglFlFMgTA分析AB杆的运动，计算惯性力FAysin21sin202mldxxlmFlg0000mgFYFFFXAyTgAx0sin2cos32cos0lmglFlFMgTAmgFmgmlFmgmlFAyAxTtan21sin61tan21sin3122ACBABxFAxFTmgdFgFgFAyOxyFgidFTFTOR例题4均质薄圆环，圆心固定。已知：m，R，。求：轮缘横截面的张力。解：取上半部分轮缘为研究对象22RRdRmFgi02sin0TgiFFY2sin221220mRdRmFT刚体惯性力系特点刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。Fgi＝－miai对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间任意力系。§11.3刚体惯性力系的简化惯性力系的主矢CiiiiimmaaFF＝－－＝＝)(ggR惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。惯性力系的主矩－惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。aCa1a2anmm2mnm1FgnFg1Fg2FgR1、刚体作平动CmaF＝－gR0g＝CM刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。2、刚体绕定轴转动(具有质量对称面)向转轴简化OCnCaCagRFngRFgRF)(gRnCCCiimmmaaaaF惯性力系主矢OCminiaiaigFnigFMgO惯性力系主矩ziiigiOJrrmMM)(gOFOgRFMgO当刚体具有质量对称平面且绕垂直于对称平面的定轴转动时，惯性力系向转轴简化为对称平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。OCgRFMgC)(gRnCCCmmaaaFCJMgCOgRFMgO向转轴简化若将刚体惯性力系向质心C简化，则可以将向转轴O简化的主矢向质心平移，同时加上相应的附加力偶。主矢的大小方向不变，作用在质心，即___gRFDC主矩则为MgO与的代数和，即___gRFDC3、刚体作平面运动(具有质量对称面)具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作向质心简化。CaCgRFMgCgRCm惯性力主矢:FagCCMJ惯性力主矩：例题5已知：m,h,,l。求：A、D处约束反力。mgFNFAxFAyFgBDCA解：取AB杆为研究对象0cos00sin0NAyNgAxFmgFYFFFX0sinsin2cos20hFlFlmgMNgABADahmaFg其中：0cos00sin0NAyNgAxFmgFYFFFX0sinsin2cos20hFlFlmgMNgAmaFg其中：)sincos(cossin2sin)sincos(2)sincos(sin22aghmlmgFaghmlmaFaghmlFAyAxNmgFNFAxFAyFgBDCACDahbCmgFFg例题6已知：m,h,a,b,f。求：为了安全运送货物，小车的amax。解：取货箱为研究对象0200000mgdhFMmgFYFFXgDNgFNdgahdmgFmaFFNg2,,货物不滑的条件：F≤fFN，a≤fg货物不翻的条件：d≤b/2，a≤bg/h为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。例题7已知：质量为m、长为l=2r的均质杆AB,旱在半径为r的圆盘上，其角速度为ω，角加速度为α。求：A端的约束反力。OrlAB解：取AB杆为研究对象FAxFAymgABCOMgOgRFngRFMA（1）分析运动，向转轴简化，惯性力的主矢和主矩分别为：223722mrJMmrmaFmrmaFOgOnCngRCgR00045cos)(0045cos)(0gOAxAOgRngRAygRngRAxMmgrrFMMFFmgFYFFFX)43(3)()(2222mrmgrMmrmgFmrFAAyAxFAxFAymgABCOMgOgRFngRFMA由达朗伯原理，有gRFngRFFAxFAymgABCMA2gRCFmamr0()cos4500()cos4500()cos450nAxgRgRnAygRgRnAAgRgRgCXFFFYFmgFFMFMmgrFFrM)43(3)()(2222mrmgrMmrmgFmrFAAyAxMgC（2）将惯性力系向质心C简化，其主矢主矩分别为：22nngRCFmamr213gCCMJmr由达朗伯原理，有§11.4静平衡与动平衡的概念ABmmFg1Fg1＝Fg2理想状态Fg2mmABFg1Fg2FRAFRBFg2偏心状态Fg1由惯性力引起的轴承约束反力FRA、FRB都不等于零，他们称之为附加动反力。ABmmFRBFRA偏角状态Fg1Fg2ABmmFRAFRB既偏心又偏角状态Fg2Fg1结论与讨论引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——达朗伯原理(动静法)。达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。质点的惯性力定义为质点的质量与加速度的乘积，并冠以负号，即质点的达朗伯原理：质点上的主动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系，有质点系的达朗伯原理：在质点系中每个质点上都假想地加上该质点的惯性力，则作用于各质点的真实力与惯性力在形式上组成平衡力系，有Fg＝－maF+FN＋Fg＝0Fi+FNi＋Fgi＝0(i=1,2,…n)刚体的惯性力系简化结果1、刚体作平动质体作平动时，惯性力系简化为一个通过质心的合力Fg。Fg＝－maC2、刚体绕定轴转动如果刚体具有对称平面，该平面与转轴垂直，则惯性力系向对称平面与转轴的交点O简化，得在该平面的一力和一力偶。Fg＝－maCMgO＝－Jz3、刚体作平面运动如果刚体具有对称平面，则惯性力系向质心简化得一力和一力偶。Fg＝－maCMgC＝－JC1、建立蛤蟆夯的运动学和动力学模型；2、分析蛤蟆夯工作过程中的几个阶段。结论与讨论实际问题