巧用向量方法求解决最值问题

巧用向量方法求解决最值问题在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。如果设向量，，则与的数量积为：，从而有：（1）,当且仅当与同向同号时取等号（2），即,当且仅当与同向同号时取等号。完全类似地，设向量,，则与的数量积为：，从而也有：（1）,当且仅当与同向同号时取等号；（2），即,，当且仅当与同向同号时取等号。在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面简单介绍几种求解的方式方法：1、用向量求未知数，满足整式方程的代数式的最值。例1：已知实数满足方程,求的最值。解：由得设：,则，即2、用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值。例2：已知实数满足方程即,问的最小值解：原方程可化为，设：,即的最大值为3，最小值为3、用向量求未知数满足整式方程的分式方程的值。例3：已知实数满足方程,求的最值。解：设,则设,即：4、用向量求无理函数的值域。例4：求已知函数的值域。解：由且可知,设,即：5、用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值。例5：已知实数满足方程,求的最值。解：设,6、用向量求使整式为最值的未知数的值。例5：求实数的值，使得达到最小值。解：设,由知当且仅当时成立，即：,时，等号成立。7、用向量求未知数满足分式方程的分式的最值。例7：已知且,求的最大值解：由知设,当且仅当时等号成立。8、用向量求无理式的最值。例8：如果，那么的最大值是多少？解：设,由知：当且仅当时，等号成立。9、用向量求满足二次方程的函数的取值范围。例9：如果,,则的取值范围是多少？解：设,;由知：