运用构造向量法求函数的最值

第1页共5页运用构造向量法求函数的最值望江县赛口中学高光祖向量是近代数学中最重要和最基本的数学概论之一，它是沟通代数，几何与三角函数的一种重要工具，有着极其丰富的实际应用背景。向量有大小和方向，大小反映了“数”的特征，方向反映了“形”的特征，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现，掌握好向量的知识，有意识地运用向量工具去解决相关问题，不仅能优化解题思路，而且能培养学生思维的发散性和创新精神。在求某些函数的最值问题中，例如出现含有两个或三个根式和与差的形式，我们使用平方法或者代换法不能有效的去掉根号，那么在这种情况下，若能善于观察问题的结构特征，挖掘代数结构的向量模型，构造向量，把原有问题转换为向量问题，会产生事半功倍的效果。我们以下面四题来阐述运用构造法求函数最值的方法。例1：求函数222222yxxxx的最小值。分析：所给函数为根式的和，因此需要将根号下的式子配方，将根式转化为向量的模来求解。解：222222yxxxx第2页共5页22221111xx设(1,1),(1,1)axbxabab22y，及22miny例2：求函数5110yxx的最大值。分析：所给的函数式可以看成两个数积的和的形式，因此，可联想两个向量数量积的坐标运算构造向量，利用abab求解。解：设(5,1),(1,10)abxxabab51102251110326yxxxx326maxy例3：求函数2211yxxxx的值域。分析：所给函数为根式的差的形式，因此需将根号下的式子配方，将第3页共5页根式转化为向量的模，利用abab来求解。解：2211yxxxx222213132222xx设1313(,),(,)2222axbx由于,ab不可能共线111yababy1313131abcabc例4：如果，求的最大值分析：本题是三个数的和的形式，因此可以构造空间向量，利用向量第4页共5页的数量积abab来求解。(31,31,31)(1,1,1)mabcn解：设1abc由于6得（3a+1）+(3b+1)+(3c+1)2222(313131)32(313131)18(313131)32mnmnabcabcabc的最大值为。第5页共5页一般地，涉及两数积的和的形式可利用公式abab求其最值；涉及根号下平方和的形式可利用abab求其最值。必须说明的是，在运用构造法时也有其局限性，不是对每一类函数都可以运用该种方法，运用比较多的是在含有根号中求最值的情况；另外，像例1，在将根号里转化为向量的模的过程中，由于是利用abab，所以必须使得ab的坐标与变量X无关。如若在结果中还出现变量，则肯定是错误的。