三角函数的图像与性质练习题

..三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A组1.下列函数图象相同的是()A.y=sinx与y=sin(x+π)B.y=cosx与y=sin(-)C.y=sinx与y=sin(-x)D.y=-sin(2π+x)与y=sinx解析:由诱导公式易知y=sin(-)=cosx,故选B.答案:B2.y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:作出y=1+sinx在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点.答案:B3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是()解析:y=sin(-x)=-sinx,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sinx,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.答案:B4.已知cosx=-,且x∈[0,2π],则角x等于()A.或B.或C.或D.或解析:如图:..由图象可知,x=或.答案:A5.当x∈[0,2π]时,满足sin(-)≥-的x的取值范围是()A.[]B.[]C.[][]D.[]解析:由sin(-)≥-,得cosx≥-.画出y=cosx,x∈[0,2π],y=-的图象,如图所示.∵cos=cos=-,∴当x∈[0,2π]时,由cosx≥-,可得x∈[][].答案:C6.函数y=2sinx与函数y=x图象的交点有个.解析:在同一坐标系中作出函数y=2sinx与y=x的图象可见有3个交点.答案:37.利用余弦曲线,写出满足cosx0,x∈[0,2π]的x的区间是.解析:画出y=cosx,x∈[0,2π]上的图象如图所示.cosx0的区间为[)(]答案:[)(]8.下列函数的图象:①y=sinx-1;②y=|sinx|;③y=-cosx;④y=√;⑤y=√-.其中与函数y=sinx图象形状完全相同的是.(填序号)..解析:y=sinx-1的图象是将y=sinx的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cosx的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sinx的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sinx|的图象,④y=√=|cosx|的图象和⑤y=√-=|sinx|的图象与y=sinx的图象形状不相同.答案:①③9.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cosx的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π.10.作出函数y=-sinx,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题.(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:①y0;②y0.(2)直线y=与函数y=-sinx,x∈[-π,π]的图象有几个交点?解:列表:x-π-0πsinx0-1010-sinx010-10描点作图:(1)根据图象可知,①当y0时,x∈(-π,0);②当y0时,x∈(0,π).(2)在简图上作出直线y=,由图可知有两个交点.B组1.函数f(x)=√-cosx在[0,+∞)内()A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点解析:数形结合法,令f(x)=√-cosx=0,则√=cosx...设函数y=√和y=cosx,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=√-cosx在[0,+∞)内有且仅有一个零点.答案:B2.已知f(x)=sin(),g(x)=cos(-),则f(x)的图象()A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y轴对称C.向左平移个单位,得g(x)的图象D.向右平移个单位,得g(x)的图象解析:∵f(x)=sin()=cosx,g(x)=cos(-)=sinx,∴f(x)的图象向右平移个单位,得g(x)的图象.由y=sinx和y=cosx的图象知,A,B,C都错,D正确.答案:D3.在(0,2π)内,使sinxcosx成立的x的取值范围是()A.()()B.()C.()D.()()解析:如图所示(阴影部分)时满足sinxcosx.答案:C4.在[0,2π]内,不等式sinx-√的解集是.解析:画出y=sinx,x∈[0,2π]的草图如下:因为sin√,..所以sin()=-√,sin(-)=-√.即在[0,2π]内,满足sinx=-√的是x=或x=.可知不等式sinx-√的解集是().答案:()5.(2016·河南南阳一中期末)函数y=√√-的定义域是.解析:由题意,得{-∴{∈∈∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.故函数y=√√-的定义域为[],k∈Z.答案:[],k∈Z6利用正弦曲线,写出函数y=2sinx()的值域是.解析:y=2sinx的部分图象如图.当x=时,ymax=2,当x=时,ymin=1,故y∈[1,2].答案:[1,2]7.画出正弦函数y=sinx(x∈R)的简图,并根据图象写出:(1)y≥时x的集合;(2)-≤y≤√时x的集合.解:(1)画出y=sinx的图象,如图,直线y=在[0,2π]上与正弦曲线交于()()两点,在[0,2π]区间内,y≥时x的集合为{|}.当x∈R时,若y≥,则x的集合为{|∈}...(2)过(-)(√)两点分别作x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点(-)(k∈Z),(-)(k∈Z)和点(√)(k∈Z),(√)(k∈Z),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-≤y≤√时x的集合为{|-∈}{|∈}.8.作出函数y=2+sinx,x∈[0,2π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图象,写出y的取值范围;(2)若函数图象与y=-在x∈[0,π]上有两个交点,求a的取值范围.解:列表:x0π2πsinx010-102+sinx23212描点、连线,如图.(1)由图知,y∈[1,3].(2)由图知,当2≤-3时,函数图象与y=-在[0,π]上有两个交点,即-5a≤-3.故a的取值范围是(-5,-3].正弦函数、余弦函数的性质(一)A组1.函数f(x)=-2sin()的最小正周期为()A.6B.2πC.πD.2解析:T==2...答案:D2.下列函数中,周期为的是()A.y=sinB.y=sin2xC.y=cosD.y=cos(-4x)解析:对D,y=cos(-4x)=cos4x,∴T=,故选D.答案:D3.(2016·四川遂宁射洪中学月考)设函数f(x)=sin(-),x∈R,则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数解析:因为f(x)=sin(-)=-cos2x,所以f(-x)=-cos2(-x)=-cos2x=f(x),所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案:B4.已知函数f(x)=sin(),g(x)=sin()的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=()A.-√B.-C.D.√解析:由已知T1=,T2=,∴sin(T1+T2)=sin()=sin()=-sin=-.答案:B5.(2016·浙江金华一中月考)设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)={-则f(-)=()A.√B.-√C.0D.1解析:因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f(-)=f(-)=f().又因为0≤≤π,所以f(-)=f()=sin√.答案:A6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于对称.解析:y=4sin(2x+π)=-4sin2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.答案:原点..7.函数y=sin()(ω0)的最小正周期为π,则ω=.解析:∵y=sin()的最小正周期为T=,∴,∴ω=3.答案:38.若f(x)(x∈R)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)=.解析:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为T=2.∴f(4)=f(0).又f(x)(x∈R)为奇函数,∴f(0)=0.∴f(4)=0.答案:09.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinx的奇偶性.解:因为f(x)=cos(2π-x)-x3sinx=cosx-x3sinx的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cosx-x3sinx=f(x),所以f(x)为偶函数.10.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f()=1,求f(-)的值.解:∵f(x)的周期为,且为偶函数,∴f(-)=f(-)=f(-)=f().而f()=f(-)=f(-)=f()=1,∴f(-)=1.B组1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数.答案:D2.函数y=cos()(k0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是()A.10B.11C.12D.13解析:∵T=≤2,∴k≥4π.又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.答案:D3.将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f(x)是奇函数..B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于直线x=对称D.y=f(x)的图象关于点(-)对称解析:y=sinx的图象向左平移个单位,得y=f(x)=sin()=cosx的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点()(k∈Z)对称,当k=-1时,点为(-),故D正确.综上可知选D.答案:D4.若函数f(x)是以π为周期的奇函数,且当x∈[-)时,f(x)=cosx,则f(-)=()A.B.√C.-D.-√解析:∵f(x)的最小正周期是π,∴f(-)=f(-)=f().又f(x)是奇函数,∴f()=-f(-)=-cos(-)=-.答案:C5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:①f()f();②f()f();③f(sin1)f(cos1).其中一定成立的是.(填序号)解析:当0≤x≤1时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2,∴f(x)在[0,1]上是减函数.∵1sincos0,1sin1cos10,1cossin0,∴f()f(),f(sin1)f(cos1),f()f().答案:②③6.已知函数y=sinx+|sinx|.(1)画出这个函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.解:(1)y=sinx+|sinx|={∈∈∈-∈函数图象如图所示...(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.7.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[]时,f(x)=sinx.(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图;(3)求当f(x)≥时x的取值范围.解:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).∵当x∈[]时,f(x)=sinx,∴当x∈[-]时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又当x∈[--]时,x+π∈[],f(x)的周期为π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx.∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sinx.(2)如图.(3)∵在[0,π]内,当f(x)=时,x=或,∴在[0,π]内,f(x)≥时,x∈[].又f(x)的周期