第3课次-古典几何概型、条件概率

[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计1概率论与数理统计教学设计课程名称概率论与数理统计课时50+50=100分钟任课教师孙芳菲专业与班级国贸B1601、02、03班；贸经B1601班；投资B1601班课型新授课课题1.古典概型与几何概型2.条件概率与乘法公式教学分析教材分析古典概型和几何概型属于第一章的第三节，位于教材第11页至17页，是在学生学习了随机事件和事件概率后的一节。由于学生在高中时或多或少接触过一些实题，因此这本书的重点在于这两种概型的定义归纳和求解思路，在讲课时应以例题为导向，向学生展示两种概型的本质意义及其区别和联系。条件概率和乘法公式属于第一章第四节的前半部分，位于教材的第17页至20页。条件概率为大学概率论的第一个新概念，而且在后续全概率公式及贝叶斯公式中有广泛应用，因此，教材中借助实例引出条件概率的定义和求解方法，但对于条件概率的部分性质，以及与积事件概率、无条件概率的区别不是很全面，需要教师向学生讲明，使学生在实际应用时不致混淆。学习目标知识与技能1.掌握古典概型、几何概型的意义和区别；2.掌握古典概型、几何概型中的一些经典模型及其解决办法；3.掌握条件概率的定义和两种求解方法；4.掌握乘法公式的原理及其实际应用。过程与方法以简单实例为导向，引导学生参与古典概型、几何概型、条件概率、乘法公式等概念定理的探究中，使学生掌握概念的来源、本质。然后，借助典型例题的讲解使学生掌握这些概念定理的实际应用，提高学生解决实际问题的能力。情感态度与价值观让学生体会通过抓住事物的本质特点区分事物的过程，认识到解决问题要拨开现象看本质。感受数学与现实生活的联系，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，获得成功的体验。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计2教学方法与策略教学内容1.古典概型；2.几何概型；3.条件概率；4.乘法公式。教学重点1.古典概型与几何概型的定义和求解方法；2.古典概型与几何概型的区别和联系；3.条件概率的定义和两种求解方法；4.乘法公式及其实际应用。教学难点古典概型和几何概型的求解；乘法公式的实际应用。板书设计教学时间设计第1节课：古典概型和几何概型1.1古典概型与几何概型的理论基础（6分钟）1.2古典概型及其典型例题（26分钟）1.3几何概型与典型例题（18分钟）课间休息10分钟第2节课：条件概率和乘法公式2.1条件概率（26分钟）2.2乘法公式（5分钟）2.3乘法公式的实际应用（15分钟）2.4小节及作业布置（4分钟）[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计3教学进程教学意图教学内容教学环节第1节课：古典概型和几何概型1.1古典概型与几何概型的理论基础（6分钟）回顾两大基本计数原理累计2分钟（1）加法原理：假设完成某件事有m种方式，第i种方式有in种方法，则完成该事件共有1miin种方法；“分类”“分情况”（2）乘法原理：假设完成某件事需m个步骤，其中第i个步骤有in种方法，则完成该事件共有1miin种方法；“分步”时间：2分钟重温概率知识点掌握排列、组合公式累计6分钟“从n个不同元素中任取k个”的取法总数：（1）排列公式（考虑元素间的先后次序）：从n个不同元素中任取k个（1kn）元素的不同排列总数为：!(1)(1)()!knnPnnnknk(kn时称其为全排列!nnPn)（2）组合公式（不考虑元素间的先后次序）：从n个不同元素中任取k个（1kn）的不同组合总数为：!!!()!kknnPnCkknk排列与组合的关系：!kknnPCk注：1）00!1,1.nC2）111;.knkkkknnnnnCCCCC3）012.nnnnnCCC例：计算2255,CA.时间:4分钟由于文科、理科生对此处知识点学习程度不同，故根据班级具体情况可细讲或粗讲，使学生掌握排列、组合的不同及其实际计算。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计41.2古典概型及其典型例题（26分钟）引出古典概型的定义和特点累计12分钟引例“取球问题”现一盒中共有5个红球，3个黑球，考虑两种取球方式：（1）依次取1球，取后不放回，共取两次；（2）依次取1球，取后放回，共取两次。试根据两种取球方式，计算取到两球均为红球的概率；恰是一红一黑的概率。解设事件A{取到两球均为红球}，B{取到两球恰为一红一黑}（1）不放回取由计数原理和排列组合公式可知，取出两球的总取法数共有1178CC种，取到两球为红球的取法数有1154CC种，恰取到一红一黑的取法数为11115533CCCC，故11541178545()8714CCPACC11115533117815()28CCCCPBCC（2）放回取115511885525()8864CCPACC11115533118815()32CCCCPBCC总结：在“样本点个数有限”且“每一个样本点等可能发生”时，事件的概率就等于该事件所含样本点个数与总样本点个数之比。时间6分钟以经典且易理解的“取球问题”引出古典概型的具体定义。并借此例题说明两种经典抽样方式：放回抽样和不放回抽样给出古典概型定义、特点和计算步骤具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(i)试验的样本空间是个有限集，不妨记作;(ii)在每次试验中，每个样本点(1,2,,)iein出现的概率相同，即．在古典概型中，规定事件A的概率为时间:4分钟借助“取球问题”引导学生归纳总结出古典概型的特点和求解方法。12{,,,}neee12({})({})({})nPePePe[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计5累计16分钟．故古典概型的计算步骤为：(1)明确样本空间，算出样本点总数n；(2)找出事件A的有利场合，算出A中样本点数An；(3)根据公式算出事件的概率。探究古典概型中的经典问题——生日问题累计24分钟例“生日问题”设一年有365天，每人的生日是等可能的，365n，求下述事件A、B的概率：A｛n个人中生日各不相同｝B｛n个人中至少有2人生日在同一天｝分析（引导学生分析总的可能种数与事件A深层含义及所包含种数）每个人的生日均有365种可能，故n个人的生日共有365n种可能；在事件A中，n个人生日各不相同，即他们生日所占天数为365天中的任意n天，且考虑次序的不同，故有365nP种。365()(365)nnPPA事件B与事件A刚好是对立事件，365()1()1(365)nnPPBPA有趣的是：当n=23时，1();2PB当n=50时，()0.97PB。也就是说，如随机产生50个人在一起，则他们中至少有2人的生日在同一天的可能性很大！（引申）同类问题：有n个人，每个人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率。有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N≥n)，求指定的n个站各有一人下车的概率。时间8分钟使学生掌握：1.在实际应用时，当事件所含情况相对多样时，可考虑其对立事件。2.提问：为何n个人的生日可能种类为365n？引导思考“生日问题”中的本质关系，解答左侧同类问题。()AnAPAn中所含样本点的个数中所含样本点的个数[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计6探究“抓阄”的公平性与否问题累计32分钟例“抓阄问题”一个袋子里装有a个红球，b个白球，现有a+b个人不放回的去摸球。求第k个人摸到红球的概率(1)kab。分析设A={第k个人摸到红球}假设这ab个球各不相同，让这ab人摸完球后排成一列，共有()!ab种排法。第k个人摸到红球，相当于第k个位置放的是红球，其余随意，故有1(1)!aCab种。1(1)!().()!aCabaPAabab注：此结果与k无关，即每次摸到红球的概率都是一样的，它可以理解为抽签模型或抓阄模型，每人摸到利签（红球）的概率相等，因此抽签（抓阄）不必争先恐后。最后需要注意的问题：1）在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件。“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的。2）在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏。时间8分钟引导思考：是否有别的解决方法？1.3几何概型与典型例题（18分钟）给出几何概型的定义、特点及与古典概型的区别累计37分钟定义设E是一个随机试验，是它的样本空间，(),()mAmB分别表示A与B的几何测度（例如长度、面积、体积），若满足每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何测度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。()()()mAPAm特点(1)试验中所有可能出现的样本点有无限多个;(2)每个样本点出现的可能性相等。时间5分钟古典——个数之比几何——长度、面积、体积之比例“相会问题”甲乙两人相约在8点至8点30分之间于某地见面，先到者等待20分钟后可以离去，求两人能会面的概率。解：设A={两人能会面},甲、乙分别在8点x分和8点y分到达，则：030,030.xy时间13分钟[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计7给出几何概型的经典模型——会面问题累计50分钟两人能会面的充要条件为||20yx即2020xyx样本空间：{(,)|030,030}xyxy事件：{(,)|2020}.Axyxyx以面积为几何测度，两人能够会面的概率为222()30108()()309mAPAm思考“等车问题”某公共汽车站从上午7时起，每隔15min来一趟车，一乘客在7:00到7:30之间随机到达该车站，求：（a）该乘客等候不到5min乘上车的概率；（b）该乘客等候时间超过10min才上车的概率。引导学生找出“会面”的充要条件，并借助几何图形求解事件概率。思考练习课间休息10分钟第2节课：条件概率和乘法公式2.1条件概率（26分钟）回顾第1节课所学内容时间2分钟引出条件概率问题提出抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，问出现点数为奇数的概率。分析A{出现的点数为奇数}={1,3,5}B{出现的点数不超过3}={1,2,3}问题可归纳为求在事件B已发生的条件下事件A发生的概率(|)PAB，称为条件概率。2()(|)3()ABABBBPABnPABPBn时间5分钟借助实际问题引出条件概率的定义，并引导学生探究条件概率的求解。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计8累计7分钟条件概率的定义和性质及其注意事项定义设A与B是同一样本空间中的两事件，若()0PA，则称()()()PABPBAPA为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。类似地，当()0PB时，定义在B发生下事件A发生的条件概率为()()()PABPABPB注意问题：1）条件概率()PBA与无条件概率()PB的关系不能确定.例如不能断言()()PBPBA或()()PBPBA（原因留作学生思考讨论）。2）()PBA与()PAB的区别：在()PBA中，事件,AB的发生有时间上的差异，A先B后；在()PAB中，事件,AB同时发生。样本空间不同，在()PBA中，事件A成为样本空间；在()PAB中，样本空间仍为Ω。性质（1）非负性：对于任意事件B，()0PBA；（2）规范性：(|)1PA；（3）可列可加性：设事件12,,,,nBBB两两互不相容，则时间13分钟使学生掌握：1.条件概率与无条件概率的区别。2.条件概率与积事件概率的区别。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计9累计20分钟11(|)()iiiiPBAPBA121212(4)()()()();PAABPABPABPAAB(5)()1().PABPAB注：()1()PABPAB引导学生抓住条件概率性质的特殊点。条件概率实际应用累计26分钟例设10