第21-22讲--数学期望--教学设计-李飞

[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计1第二章随机变量的数字特征第21-22讲数学期望教学设计课程名称概率论与数理统计课时50+50分钟任课教师李飞专业与班级金融工程B1601/B1602/B1603/B1604课型新授课课题4.1数学期望总学时48（24*2）周课时3（每两周2+4或4+2）1.教学分析教材分析数学期望的教学属于第四章的第1节，位于教材第115页至125页。现实生活中有大量的实际题都可以应用于课堂，帮助学生直观地了解数学概念产生的背景及意义.首先通过“平均年龄”问题，将学生熟悉的算术平均值延伸扩展到加权平均值，并推广到一般，就可以直观地得到离散型随机变量的数学期望.进而，将离散扩展连续，无穷和扩展到积分就可以得到连续型随机变量的数学期望。数学期望不能只停留在数学层面，还要回到现实层面，即需要引导学生利用所学知识解决实际问题。通过对实际问题的讨论，将实际问题抽象上升到数学问题，站在数学的高度分析、把握、计算、解决实际问题的过程，使学生不仅对概念本身有更深刻的理解，而且也培养他们学以致用的能力.教学思想在系统学习了随机变量及其分布的基础上，进一步学习随机变量重要的数字特征之一:数学期望.研究随机变量的数字特征是概率论的重要任务之一，而数学期望是随机变量最重要的数字特征，其本质是随机变量的取值按概率的加权平均值.数学期望产生于概率论发展的早期，它是简单算术平均的推广.由于数学期望在众多领域中都有着广泛的应用，并且在后续课程—统计学中也起着非常重要的作用，因此掌握好数学期望对本课程的学习有着重要的意义.在教学中，通过问题的提出、概念的讲解、例题的设置等多个环节，让学生充分认识到数学期望的重要性和应用的广泛性，并学会用数学期望解决一些实际问题.[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计2学习目标知识与技能使学生理解随机变量的数学期望产生的背景和意义.掌握数学期望的性质，会利用定义及有关性质计算随机变量具体分布的数学期望;熟练掌握常见几种随机变量分布的数学期望.过程与方法通过大量实例应用引导学生在深刻理解数学期望的基础上，会分析实际问题中隐含的数学期望，从而培养学生自觉用概率思想分析和解决问题的能力.情感态度与价值观1.在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，获得成功的体验。2.根据随机变量的数学期望定义，深刻认识随机变量的特征，达到会用并在解决实际问题的过程中体会与他人的合作。教学内容与策略教学内容本节主要讲授以下内容:1.数学期望的定义;2.常见几种随机变量分布的数学期望;3.随机变量函数的数学期望;4.数学期望的性质;教学重点1.理解数学期望的概念，掌握数学期望的计算公式;2.掌握数学期望的性质.教学难点1.如何理解离散型随机变量数学期望的概念?2.如何理解连续型随机变量数学期望的概念?3.如何将实际问题转化为随机变量函数的数学期望的问题？重点、难点的解决对策1.关键在于帮助学生建立现实—数学—现实的思想方法:概率论与理统计相对其他数学课程，有着更广泛的应用背景.2.加强课堂互动，引导学生回顾以前所学知识，帮助学生理解离散型随机变量数学期望无穷级数和的定义.无穷和一定存在吗?通过提问、解答、举例使学生理解绝对收敛条件存在的必要性.[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计33.离散到连续的推广是一个难点.积分的思想和方法学生很熟悉，通过问答式互动，首先将连续无限分割即离散化，对每个小区间类似离散情形，做随机变量取值与概率乘积的近似，然后对所有小区间求和，最后利用极限方法，就将离散型的数学期望推广到连续型.这种对比、迁移、转化的方法正是处理数学问题常用的思想方法.板书设计教学时间设计1.引例…………………………5分钟2.离散型随机变量的数学期望…………20分钟3.连续型随机变量的数学期望…………20分钟4.随机变量的函数的数学期望………18分钟5.数学期望的性质……………………10分钟6.课堂练习………………………25分钟7.课堂小结…………2分钟教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计4教学过程教学意图教学内容设计理念引例（5分钟）问题引入：引例—平均年龄某校某专业20名研究生年龄统计表如下，求其平均年龄.年龄2021222324人数12836202122232422()5x（忽略人数权重）20121222823324622.552012836=20212223242020202020x（这是依频率的加权平均）年龄2021222324人数120220820320620…………………………5分钟通过平均年龄的计算，在回顾平均数计算的同时，引入频率加权平均的基础概念。分析引入数学期望的定义（5分钟）引入数学期望的定义一般的，对于给定的一组数值12,,nxxx，在m次观测的试验中出现的频率分别为12,,nfff，其平均值为112221nniiixxfxfxfxf当观测次数m充分大时，频率if在一定意义下稳定于概率ip，于是1niiixxp----数学期望…………………………10分钟通过对平均年龄问题的类比，获得数学期望的雏形。离散型随机变量的数学期望定义（15分钟）1、离散型随机变量的数学期望设X是离散型的随机变量，其概率函数为如果级数iiiap绝对收敛（iiiap），则定义的数学期望（又称均值）为()iiiEXap；（即：级数iiiap的和）（1）(1,)XBp离散型随机变量的数学期望定义是数学期望概念的基础，连(),1,2,,iiPXapiX[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计5(1)()(1),0,1iiPXippi()0(1)1EXppp（2）(,)XBnp()(1),0,1,2,iiniinpPXiCppin011!()(1)(1)(1)!()!nnniiniiniiniiinEXipiCppppini1(1)1(1)!(1)(1)!(1)(1)!niniinnpppini（令'1ii）''''1110(1)niinininpCpp1=(1)nnpppnp（3）()XP(),0,1,2,!iipPXieii1001()!(1)!iiiiiiEXipieeiiee例题4.4（分赌本问题）甲乙两人各有赌本a元，约定谁先胜三局就赢得2a元，假定甲乙二人在每一局中的概率相等。现在已赌三局，结果甲是二胜一负，由于某种原因赌博终止，问如何分2a元的赌本才合理？如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的。著名物理学家和数学家Pascal提出了一个合理的分法：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的。易知，最多需要再赌两局，就能决出胜负。其结果为：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。设X为甲最终所得，Y为乙最终所得，则X,Y的分布律分别为：X02aP1434Y02aP3414依据期望的定义，甲乙的期望所得分别为：续型随机变量的数学期望是在离散型随机变量的数学期望的基础上引入的。引导学生推导三个常用的离散型随机变量的数学期望。例题4.4利用学生感兴趣的游戏，深入理解数学期望的定义。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计6133311()02,()02442442EXaaEYaa这就是甲乙应该分到的赌本。…………………………25分钟连续型随机变量的数学期望（20分钟）设X为连续型随机变量，其概率密度为()fx，如果广义积分()xfxdx绝对收敛（()xfxdx），则定义X的数学期望为．数学期望()EX完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布，也称()EX是这一分布的数学期望。（1）(,),()XUabab1()0Xfxbaab其他2111()22bbaaabEXxdxxbaba（2）()XE()0xeXfx00xx000()()()xxxEXxedxxedxxde00001=()11xxxxxeedxedxe（3）2(,)XN22()21()2xEXxedx（令xt）222211(t)22ttedttedt…………………………45分钟连续型随机变量的数学期望是在离散型随机变量的数学期望的基础上引入。引导学生推导并熟记三个常用分布的数学期望。()()EXxfxdx[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计7随机变量函数的数学期望（18分钟）随机变量函数的数学期望设X为离散型随机变量，其概率函数如果级数()iiigap绝对收敛（()iiigxp），则X的函数()gX的数学期望为设(,)XY为二维离散型随机变量，其联合概率函数如果级数(,)ijijjigabp绝对收敛，则(,)XY的函数g(,)XY的数学期望为；设X为连续型随机变量，其概率密度为()fx，如果广义积分()()gxfxdx绝对收敛，则X的函数()gX的数学期望为．设(,)XY为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)fxy，如果广义积分(,)(,)gxyfxydxdy绝对收敛，则(,)XY的函数(,)gXY的数学期望为；特别地,.例题：（1）(,),()XUabab在随机变量的函数的分布基础上引入了随机变量的函数的数学期望，应注意与函数的概念联系与区别。(),1,2,,iiPXapi[()]()iiiEgXgap(,),,1,2,,ijijPXaYbpij[(,)](,)ijijjiEgXYgabp();()iijjijiijiEXapEYbp[()]()()EgXgxfxdx[(,)](,)(,)Egxygxyfxydxdy()(,)Exxfxydxdy()(,)EYyfxydxdy[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计81()0Xfxbaab其他2111()22bbaaabEXxdxxbaba22223111()33bbaaaabbEXxdxxbaba（2）()XE()0xeXfx00xx000()()()xxxEXxedxxedxxde00001=()11xxxxxeedxedxe2220020()()()xxxEXxedxxedxxde2202002=2xxxxeedxxedx（3）2(,)XN22()21()2xEXxedx（令xt）222211(t)22ttedttedt22()2221()2xEXxedx此处的几个例题（数学期望的计算），既是随机变量函数的数学期望的计算，同时也是下节课“方差”的预备.[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计9…………………………63分钟通过例题的讲解，巩固数学期望的基本概念，同时检验对知识的掌握情况。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计10数学期望的性质（10分钟）通过对“数学期望”的理解与应用，分析得出“数学期望的性质”，方便于以后数学期望的计算与证明。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设