第9-10讲--随机变量+离散型随机变量及其分布--教学设计-李飞

[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计1第二章随机变量及其分布第9-10讲随机变量、离散型随机变量及其分布教学设计课程名称概率论与数理统计课时50+50分钟任课教师李飞专业与班级金融工程B1601/B1602/B1603/B1604课型新授课课题2.1随机变量2.2离散型随机变量及其分布总学时48（24*2）周课时3（每两周2+4或4+2）1.教学分析教材分析随机变量和离散型随机变量及其分布的教学属于第二章的第1、2节，位于教材第35页至43页。第一节随机变量是概率论发生质的飞跃的起点，应使学生充分理解随机试验中的样本点可与实数形成单值对应，随机事件也可以量化而与实数形成单值对应，从而形成随机变量下的函数，就可以利用高等数学或微积分的知识来研究、描述随机事件或随机现象，并可以进行更深入的研究。第二节离散型随机变量及其分布一节，让学生了解其主要内容及其研究该内容所用的数学思想和方法，对学生明确学习目标和学习任务，提高他们的求知欲望，激发他们的学习兴趣非常重要。对于随机试验，只要了解了它可能出现的结果，以及每一个结果发生的概率，也就基本把握了它的统计规律。本节课的教学任务就是通过具体实例，帮助学生掌握随机变量和离散型随机变量的概念，理解它们的意义和作用，能对一个随机试验的结果，用一个随机变量表示，并能写出其分布律。同时应主要介绍常用的三种离散型随机变量的分布，这三种分布将是今后学习与应用的重点。教学说明本节课是概率论由事件的语言描述而转为实数对应的转换点，对后续课程的影响较大。本节课的内容，学生在高中时也已经学习过，只不过高中所涉及的离散型随机变量都是有限的。教学时将在学生已经掌握的随机变量、离散型随机变量的分布知识的基础上展开教学。0-1分布、泊松分布、二项[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计2分布等常用的分布一定要让学生理解其原理，进而达到易于应用。有时间时，还可介绍均匀分布、几何分布、超几何分布等概型。学习目标知识与技能1.理解随机变量和离散型随机变量的描述性定义，以及随机变量与函数的关系，2.理解随机变量的概念，能够把一个随机试验的结果用随机变量表示，能够根据所关心的问题定义一个随机变量3.理解离散型随机变量的定义，会写出简单离散型分布的分布律；4.理解并掌握几个常用的离散型分布，并会解决相关的应用问题。过程与方法1.通过生活中可量化的样本点及随机事件，直观的将样本点或随机事件与实数联系起来；2.通过具体事例的感知与分析，理解离散型、连续型随机变量的概念及它们与函数的关系3.通过掷硬币、扔骰子、产品检验、城市发生火灾的次数等试验，使学生充分理解常用的三种分布。情感态度与价值观1.感受随机事件的量化过程，在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，获得成功的体验。2.在感受随机的过程中，培养学生的思辩能力及思维的严谨性。2.根据随机变量的定义，深刻认识随机变量函数与其他函数的联系与区别，并在解决实际问题的过程中体会与他人的合作。教学内容与策略教学内容1.随机变量2.离散型随机变量的定义及分布律3.几个常用的离散型分布教学重点1.随机变量概念的形成过程；2.离散型随机变量的分布律；3.0-1分布、二项分布、泊松分布。教学难点1.二项分布的分布律及二项分布的应用；2.泊松分布在生活中的应用以及泊松定理重点、难点的解决对策1.用生活中身边的具体事例，让学生直接发现样本点与实数的对应关系，直观看到样本点或事件与实数之间形成随[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计3机概念下的函数。2.为了帮助学生理解二项分布，可将二项分布与一排有十个灯泡的测试检验联系起来，同时注意回顾中学学习的排列与组合概念、二项展开式等，化解降低难度。3.泊松分布的应用比较广泛，应举出大量生活中能遇见的泊松分布的实例，用泊松流的强度、平稳性、无后效性等特点进行讲解，使学生知道具备这些特点的随机事件均属于泊松分布。板书设计教学时间设计1.随机变量…………15分钟2.离散型随机变量及其分布律…………20分钟3.0-1分布…………15分钟课间休息4.二项分布…………20分钟5.泊松分布…………27分钟6.课堂小结…………3分钟教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。教学过程教学意图教学内容设计理念随机变量（15分钟）引言：我们知道，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。运动员的一次射击，就是一次随机试验，只要了解了随机试验可能出现的结果（即每一个结果就是一个随机事件），以及每一个结果发生的概率，我们也就基本把握了它的统计规律。随机试验的结果有些本身就是数量.例如,掷骰子出现的点数、产品抽样中的次品数、电话总机在单位激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活，生活中处处有数学。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计4时间内接到的呼叫次数、测量中出现的误差等.而有些随机试验表面上看其试验结果与数量没有直接关系.例如,掷硬币的结果“正面”、“反面”.我们可以将其数量化,当出现正面时对应数,出现反面时对应数.这样随机试验的结果就是随机变化的变量,把随机试验的结果数量化,便于应用数学知识研究随机现象,使对随机现象的研究更深入和简单.问题1：概率是描述在一次随机试验中某个随机事件发生可能性大小的度量。如掷骰子就是一个随机试验，它有六种可能性结果。你还能举出一些随机试验的例子吗？该随机试验的所有可能结果有哪些？问题2：（1）掷一枚骰子，出现向上的点数X是1，2，3，4，5，6中的某一个数；（2）在一块地上种10棵树苗，成活的棵树Y是0，1，2，3，…，10中的某个数。下面两个随机试验的结果是否可以用数字表示呢？（3）掷一枚硬币所有可能的结果；正面向上——1；反面向上——0（4）新生儿性别，抽查的所有可能的结果；男——1；女——0问题3：上述四个例子说明，随机试验的结果与数字之间构成了一个对应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字表示。这样随机试验的结果就可以看成是一个变量，我们称其为随机变量。你能给随机变量下一个定义吗？问题4：问题1设计意图：能够判定简单的随机试验，并能列举出所有可能的结果，为用“数”表示这些结果做好准备。问题2设计意图：通过讨论引导学生发现任何一个随机试验的结果都可用数字进行表示，这样随机试验的结果与数字之间就构成了一个对应关系，这为引入随机变量的概念奠定基础。问题3设计意图：引导学生通过分析、综合活动，尝试给随机变量下定义。这种定义方式是描述性的，学生可以凭借自己的理解下定义，只要这种描述比较准确就可以，不一定按照课本的描述性定义。如一般地，如果一个随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量就叫做随机变量，[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计5在（3）和（4）的两个随机试验中，其试验的结果是否还可以用其他人数字表示？设计意图：通过讨论，得出结论：一个随机试验的结果可以用不同的随机变量表示。如上面两个试验的结果还可以用-1和1表示等。（表示不唯一）问题5：在掷一枚硬币的随机试验中，其结果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他数字表示，那么，在5次掷硬币的随机试验中，出现“正面向上”的次数可以怎样表示？由此你认为定义一个随机变量需要遵循哪些则？从使用意义上看，显然把正面向上的次数表示成负数不太合适，而且这样也不方便，因此，构造随机变量时，应当注意一些基本问题：如随机变量应该有实际意义，应当尽量简单，以便于研究。问题6：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量的定义定义1设随机变量的样本空间为e，称定义在样本空间上的实值单值函数()XXe为随机变量。概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布．引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量表示。如：（1）扔硬币：出现正面向上=1X（2）射击：5=5X射击次数不多于次（3）运算：aXbXbXa等。问题6设计意图：引导学生把随机变量和函数进行类比，使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域。[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计6…………………………15分钟离散型随机变量及其分布（20分钟）例题1.写出下列各随机变量可能的取值（或范围）:(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张被取出的卡片的号数X．(2)一个袋中装有3个白球和5个黑球，从中任取5个，其中所含白球数Y．(3)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ．(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数ξ．(5)某网页在24小时内被浏览的次数η.(6)某一自动装置无故障运转的时间T（7）电灯泡的寿命X。1.离散型随机变量的定义若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。设离散型随机变量的可能取值为12,,,,kxxx，事件iXx的概率为(1,2,)ipi那么，可用下列表格形式表达X取值的规律：1x2x…nx…其中01ip(1,2,)i，1ip。这个表格所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律或概率函数。也可用一个表达式表示：()iiPXxp(1,2,)i.2.分布律的性质：（1）非负性0,(1,2,3,)ipi（2）归一性11iip3.美国教材中的定义：定义：序对(,())xfx的集合称为离散型随机变量X的概率函数、概率质量函数或概率分布，如果对X的每个可能结果x，满足：例题设计意图：训练写出随机变量的取值或范围，并在此基础上通过分类得到“离散型随机变量”的概念。①上述两条性质是分布律必须具有的性质.如果一个XXXXrP12nppp[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计7(1)()0fx(2)()1xfx(3)()()PXxfx强调：（1）若给出含参数的离散型随机变量的分布律，可依据定义计算并确定；（2）任意有限个或者可列个实数(1,2,)ipi，只要满足01ip(1,2,)i，1ip，一定是某离散型随机变量的分布律。（3）对离散型随机变量，iiaxbaXbXx，故有：()iiaxbPaXbPXx……………………35分钟数列具有以上两条性质,则它可以作为某离散型随机变量的分布律.②利用上述性质,可以验证所计算的随机变量的分布律的正确性.0-1分布（15分钟）定义2.4若随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是1{}(1),0,1(01)kkPXkppkp,即注：0-1分布是离散型分布的典型和基础，在概率统计中[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计8X10Pp1p则称X服从(0-1)分布或两点分布.…………………………50分钟占有很重要的地位。充分理解并联系实际应用才是最为主要的。由于该部分内容中学学习过，例题2.4可让学生练习完成，课间休息二项分布（22分钟）特别地,当1n时,二项分布即为(01)分布,故(01)分布可记为~(1,)Xbp.实际上,二项分布是n重伯努利试验的概率模型,是一种常用的离散分布.[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计9…………………………20分钟泊松分布（25分钟）泊松分布产生的一般条件：在自然界和现实生活中，常遇到在随机时刻出现的某种事件。把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列注意：泊松分布是自然界最常见的一种分布，具[作者姓名][日期]概率论与数理统计教学设计10称为随机事件流。若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称事件流为泊松事件流（泊松流）。平稳性：在任意时间区间内，事件发生k次（0k）的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关。无后效性：在不相重叠的时间段内，事件的发生相互独立。普通性：如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可以忽略不计。对泊松流，在任意时间间隔（0，t）内，事件发生的次数服从参数为的泊松分布