中科大傅里叶光学导论

绪论光波及其衍射基础以及FO概念二维线性系统分析标量衍射理论基础菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射透镜的傅立叶变换性质及成像性质光学成像系统的频谱分析课程内容光波及其衍射以及FO概念光波的有关概念、特点、数学描述、光的传播（衍射）、空间频率、空间频谱、傅立叶光学的基本思想等平面简谐光波球面简谐光波振动（扰动）在空间的传播形成波波的产生和传播：横波、纵波：依振动方向与波的传播方向,是垂直还是平行引起扰动的源称为波源波所传到的空间区域称为波场矢量波、标量波：波动中，波场中的任一点总有某个物理量随时间变化而振动，该物理量一般是矢量：如机械波中的质点位移X，电磁波中的EH，相应的波称为矢量波。在某些情况下所考察的振动物理量是标量，标量波（声波）单色简谐波1.空间各点的振动是同频率的简谐振荡（频率与振源相同）2.波场中各点振动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布3.初始相位的空间分布与时间无关最简单的振动：无阻尼自由振动----简谐振动()cos()xtAtωϕ=+最简单的波动:由简谐振动所产生的波动----简谐波一维简谐波的表达式(波函数)讨论:沿+Z方向传播的一维简谐波(V,ω)假设:媒质无吸收(振幅均为A)Z··dZo任一点ｐ参考点ａ波速V已知:参考点a的振动表达式为()cos()aaUtAtωϕ=+p:A,ω均与a点的相同,时间落后)(Vdzt−−])(cos[),(aVdztAtzUϕω+−−=VTdzTtAtzUa=+−−=λϕλπ])(2cos[),(λπϕω2])(cos[),(=+−−=kdzktAtzUa选:原点为参考点初相ϕa为零则)cos(),(kztAtzU−=ω平面简谐光波的表达式：沿+z向传播（一维）)cos(),(kztAtzU−=ω)cos(),(rktAtrUvvv⋅−=ω一维--？三维(沿任向传播)：波面:波场中相位相同的点集合称为波面或等相面波面是平面的简谐波波面Q取新坐标轴OZ’，其方向与K方向一致，该平面波可看作沿OZ’轴正向传播的一维平面波。过P作平面Σ⊥OZ’(Q)，则Σ为波的等相面，φ(P)=φ(Q)考察当一平面波沿任意方向K传播时，空间中任一场点P处（x,y,z)的波场zktQ′−=ωφ)(zkykxkrkzkzyx++=⋅=′vv平面波场中任意点的振幅均为常数，故P点的波场可表示为：可见在任意时刻三维平面波的等相面是:K⋅R=常数的平面，它垂直于波的传播方向。记波矢与x,y,z轴的正向夹角为α，β，γ：γβαcos,cos,coskkkkkkzyx===)cos()(cos)(cos),(rktAQApAtrUvvv⋅−===ωφφ)]coscoscos(2cos[)cos(),(TtzyxArktAtrU−++=⋅−=λγλβλαπωvvv则波的相位改变2π，波函数复原，故dx,dy,dz分别称为波场在x,y,z方向的空间周期若x,y,z分别改变γλβλαλcos,cos,cos===zyxdddλγλβλαcos1,cos1,cos1======zzyyxxdfdfdf分别称为波场在x,y,z方向的空间频率对于给定波长的三维平面波，F、K的三个分量中只有两个是独立的。222coscoscos1αβγ++=22212()1xyzffffλ=++=22212()2xyzkkkkπλ=++=利用空间频率矢量，波函数可表示为：)](2cos[vtzfyfxfAzyx−++=π)](2cos[),(rftvAtrUvvv⋅−=π尽管沿不同方向波的空间频率可以不同，但是沿波的传播方向波场的空间周期恒为波长λ，空间频率恒为f=1/λ，这与一维平面波一致平面波波函数的特点：1.振幅A(P)=A常数，它与场点坐标P无关2.位相φ(p)是直角坐标的线性函数zkykxkrkpzyx++=⋅=vv)(φ解析几何：波面方程φ(p)=常数，确实代表一个以k方向为法线的平面),,(zyxkkkkv-?φ(p)φ(p)-?波面波矢线性相因子系数⇔传播方向球面简谐波的表达式：点波源各向同性介质)cos(),(krtrAtrU−=ω特点：2.位相分布的形式为φ(p)=kr波面方程φ(p)=常数，确实代表以振源为中心的一个球面1.振幅A(P)=A/r，反比于场点到振源的距离r这是能量守恒的要求简谐波的复数表示→复振幅沿+z方向传播的（一维）平面简谐波)Re()](cos[)Re()cos(),()()(kztikztiAekztAAekztAtzU−−−=−−==−=ωωωω由cosθ=cos(-θ)，取-φ(z,t)=kz-ωt，作为相位，而不对波函数U(z,t)的描述带来任何变化（*注意相位）cossinieiθθθ±=±复指数函数和正、余弦函数表示简谐波之间只是一个对应关系，而不是相等关系。是取相应的实部或虚部简谐波的复数表示式采用复指数表示的波函数中，包含时间变量和空间变量的两部分完全分离开，波场中各点谐振动的频率相同,它们有相同的时间因子，靠边站不写。称为复振幅，模量A代表振幅在空间的分布,其辐角代表相位在空间的分布,集波场中的两个空间分布于一身tiikzkztieAeAetzUωω−−−==)(),()()(~)(~piikzAepUAezUφ==复指数函数来表示波函数，同频率波函数的线性运算（包括加、减、与常数相乘、对空间坐标的微分与积分），可直接用复振幅计算tiikzkztieAeAetzUωω−−−==)(),(求时间微分等效与函数前乘上-iω;求空间微分等效于乘上ik})(~Re{),(11tierUtrUω−=vv})(~Re{),(22tierUtrUω−=vv})(~Re{),(tierUtrUω−=vv)(~)(~)(~21rUrUrUvvv+=在做乘法或微积分运算比较便利平面波的复振幅)](exp[)exp()(~zkykxkiArkiAPUzyx++=⋅=rv球面波的复振幅2220022200(,,)exp(()())()()aUxyzikxxyyzxxyyz=−+−+−+−+%1、发散球面波的复振幅ikzAezU=)(~)exp()(~ikrraPU=)exp()(~ikrraPU−=Qkvrv)exp()(~ikrraPU−=2220022200(,,)exp(()())()()aUxyzikxxyyzxxyyz=−−+−+−+−+%2、会聚球面波的复振幅Q′rvkv)exp()(~ikrraPU±=000(,,)xyz±+−相因子反映了球面波的聚散性；聚散中心位置为对应发散(会聚）的球面波；对应会聚（发散）的球面波复振幅在波前上的二维分布：对于一单色定态波所携带的信息如ω、λ和传播方向、振幅分布，位相分布，传播速度等全部包含在三维的复振幅分布函数中。通常光学元件只和波场中某个面（波前）打交道，与此有关的只是这个波前上的信息。(sincos)(,,)ikxzUxyzAeθθ+=%波前Z=0（x,y平面上）(sin)(,)ikxUxyAeθ=%?？传播图象波前：泛指波场中任一曲面，更多地是指一个平面，如记录介质、感光底片、接收屏幕等所在的平面现代光学中：波前指的就是与接受平面打交道的光场也称它为波前函数(,)Uxy%波前（函数）相因子平面波()(,,)xyzikxkyikzikrUxyzAeAee+⋅==vv%平面波的波前函数相因子()(,)xyikxkyUxyAe+=%222(,,)ikxyzikrAAUxyzeerr++==%球面波222(,)xyikzAUxyer⎛⎞+±⎜⎟⎜⎟⎝⎠=%球面波的波前函数相因子波前函数⇔波的类型和特征“+”发散，“-”会聚球面波波前函数⇔波的类型和特征线性相因子系数⇔传播方向相因子告诉我们波源之所在位相信息的重要性球面波向平面波的转化1、傍轴条件（振幅条件）2、远场条件（相位条件）场点一、轴上物点的傍轴条件与远场条件二、轴外物点的傍轴条件与远场条件0yOPQz0xρr••xya()exp()AUPikrr=%1、傍轴条件（振幅条件）2222222224()[1]28xyxyrxyzzzz++=++=+−+L2222()zxyρ=+AArz⇒≈222eexyikikrikzze+∴≈⋅接收面的场波前函数222(,)exyikzAUxyz+=⋅%具有平面波前的振幅特点，振幅为一常数，与场点(x,y)无关；但不具备平面波的线性相因子特点→傍轴条件（振幅条件）kλπQ很小,很大,相位简单换为z,会造成远大于2的位相误差22zρ2、远场条件（位相条件）位相因子决定了函数的周期性，每当位相因子改变π时，函数反号，这种变化是不可忽略的。位相因子只有远小于π的项才可忽略2222xykzzπλρ+↔波前函数的相因子与横向位置(x,y)无关，相当于一列正入射的平面波，而振幅系数并不保持为一常数→远场条件（相位条件）22()e2ikzAUPxyzz=⋅++%2zλρ球面波向平面波的转化1+2对于光波，远场条件蕴涵傍轴条件()eikzAUPz=⋅%()exp()AUPikrr=⇒%22zρ在光学中往往是远场条件蕴涵傍轴条件λ光波长很短2zλρ⇒0.5,1mmmλμρ=≈横向观测的限度范围100⇔12?zz傍轴距离和远场距离实验室空间距离直接实现远场条件不现实2211010zzmmρρ↔==222100200zzmλρρλ↔==对于光波，远场条件蕴涵傍轴条件利用透镜可实现远场条件傍轴条件，远场条件⇔（源点、场点）二、轴外物点的傍轴条件与远场条件2220022002()()()()(1)2rxxyyzxxyyzz=−+−+−+−=++L00(,);(,)QxyPxy设点源位置场点位置()exp()AUPikrr=%2222000022eeexyxxyyxyikikikzzz+++−∝⋅⋅2200()()2(,)exxyyikzAUxyz−+−=⋅%则波前函数为：2200002(,)eexyxxyyikikzzUxy++−∝⋅%0000()((),),xyikxkyzzxyxy−+与场点坐标有关的仅是线性相因子，它表示一列平面波,传播方向由来决定,即物(源)点位置决定到达接收平面的平面波的传播方向2221,ozρρ、若物点和场点都满足傍轴条件：••22202zzλρρ、若场点满足远场条件,而物点只满足•22002(,)eexyxyikikzxzyUxy++−∝⋅%220020000(,,)e()exxyyxyikikzzxyUxdyyUdx++−∝⋅∫∫%%22002()20000e(,)eXYxyikifxfyzUxydxdyπ+−+∝⋅∫∫%{}00;(,)XYxyffzzUxyλλ==∝ℑ%00(,),?(,)UxyUxy%%若物面不是物点,而是复杂物体接收平面处的场2223ozzλρρ、若物点满足远场条件,而场点只满足•在一般情况下，在接收（观察）平面上，只对Z轴附近的一个有限区域感兴趣波的传播过程就是波面的传播，实际上就是不同近似条件下的波面的变化，也就是说在一定的条件下，某观察面处的场可以看作球面波的叠加、“二次抛物面波”的叠加、平面波的叠加220000()()2eeexxyyxxyyikikikrzz−+−+−→→所以在讨论波的传播时，就关心物的尺度和观察平面之间距离Z的关系（即物的傍轴条件、远场条件）22zρ即场点满足•2200(0)(0)()ππ∞∞=−∞≠=−∞≠=+=+∑∑nnixixllnnnnnnfxccecce在数学上：可将一周期函数作傅里叶展开2l周期20(0)()nifxnnnfxcceπ∞=−∞≠=+∑空间频率和空间频谱引入傅里叶数学分析工具分析研究光波场的特点、传播、成像、处理等进而引入：空间频率与空间频谱211()()22ππ−−−−==∫∫nnixllifxlnllcfxedxfxedxll1112,==nflfnfn基频；次谐波的频率傅里叶系数的集合告诉我们原函数中各种频率的成分占多大比例，通常把这叫做傅里叶频谱（频谱）。一般来说频谱可以是连续的，