微分方程模型1

2012-8-3微分方程模型主讲人窦霁虹专科组常见的微分方程模型：2003年，C题：SARS的传播常微分方程组或差分方程组2004年，C题：饮酒驾车线性常微分方程组2011年，C题：企业退休职工养老金制度的改革常微分方程，阻滞增长模型2012-8-3微分方程模型：联系某些变量及其变化率或导数的关系式。求解微分方程有三种方法：1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系。2012-8-3建立微分方程模型的方法（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等找出变量及其导数之间的关系，来建立微分方程模型。如，根据放射性元素衰减规律：放射性元素的衰减速率与当时的剩余量成正比)()(tkxdttdx2012-8-3（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。dxyxfdy),(2012-8-3（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。2012-8-3人口模型-------精确解差分方程-------数值解生物种群模型-----定性分析2012-8-38/3/20122)罗杰斯特(Logistic)模型)(00)()(ttretNtNNKNrdtdN)1(表示该种群的最大容纳量。K)()()(0001)(ttrtNtNKeKtN人口增长数学模型1)马尔萨斯(Malthus)模型rNdtdN表示时刻的人口数量，称为内禀增长率。Ntr2012-8-3下面是美国近两个世纪的人口统计数据（百万），试建立数学模型，预测2010年美国的人口数。年179018001810182018301840185018601870人口3.95.37.29.612.917.123.231.438.6年18801890190019101920193019401950人口50.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7年19601970198019902000人口179.3204.0226.5251.4281.4人口预测问题data=881790,3.9,81800,5.3,81810,7.2,81820,9.6,81830,12.9,81840,17.1,81850,23.2,81860,31.4,81870,38.6,81880,50.2,81890,62.9,81900,76,81910,92.0,81920,106.5,81940,131.7,81950,150.7,81960,179.3,81970,204.0,81980,226.5,81990,251.4,82000,281.4In[4]:=ListPlot@data,PlotStyle-8PointSize@0.02DD185019001950200050100150200250Out[4]=…Graphics…2012-8-3一建模分析目标：寻找人口数量随时间变化的规律。人口的变化规律有其内在的规律，如Malthus模型Logistic模型题中给的数据有什么作用呢？函数关系式2012-8-3Malthus模型二建立模型00)()()(NtNtrNdttdN其中N(t)表示t时刻人口数。)()(00ttreNtN要进行预测确定参数N0,r,t02012-8-379010t参数估计零时刻的人数为N0)()1790(0treNtN以下用1790年至1900年的数据来估计参数的值。)1790(ln)(ln0trNtN)1790(trayaNytN0ln,)(ln利用最小二乘法进行线性拟合In[26]:=f=Fit@data1,81,x-1790,xDOut[26]=1.43233+0.0274324H-1790+xLIn[27]:=Exp@1.43233DOut[27]=4.18845In[25]:=data1=881790,Log@3.9D,81800,Log@5.3D,81810,Log@7.2D,81820,Log@9.6D,81830,Log@12.9D,81840,Log@17.1D,81850,Log@23.2D,81860,Log@31.4D,81870,Log@38.6D,81880,Log@50.2D,81890,Log@62.9D,81900,[e-mail][25]=881790,1.36098,81800,1.66771,81810,1.97408,81820,2.26176,81830,2.55723,81840,2.83908,81850,3.14415,81860,3.44681,81870,3.65325,81880,3.91602,81890,4.14155,81900,4.330731）用1790年至1900年的数据拟合，利用Mathematic软件计算可得ear0.2743/10yr1884.40N1884.4)()1790(02743.0tetN)()1790(0treNtN2）用全部数据（1790年至2000年）拟合，计算可得ear0.2022/10yr0450.60NIn[33]:=data2=881790,Log@3.9D,81800,Log@5.3D,81810,Log@7.2D,81820,Log@9.6D,81830,Log@12.9D,81840,Log@17.1D,81850,Log@23.2D,81860,Log@31.4D,81870,Log@38.6D,81880,Log@50.2D,81890,Log@62.9D,81900,Log@76.D,81910,Log@92.0D,81920,Log@106.5D,81930,Log@123.2D,81940,Log@131.7D,81950,Log@150.7D,81960,Log@179.3D,81970,Log@204.D,81980,Log@226.5D,81990,Log@251.4D,82000,Log@281.4DIn[34]:=g=Fit@data2,81,x-1790,xDOut[34]=1.79923+0.0202193H-1790+xLIn[35]:=Exp@1.79923DOut[35]=6.04499)1790(02022.00450.6)(tetN)()1790(0treNtNIn[38]:=G1=ListPlot@data,PlotStyle-8PointSize@0.02DD185019001950200050100150200250Out[38]=…Graphics…In[40]:=G2=Plot@84.1884Exp@0.02743Ht-1790LD,8t,1790,2000D185019001950200020040060080010001200Out[40]=…Graphics…In[41]:=G3=Plot@86.0450Exp@0.02022Ht-1790LD,8t,1790,2000D1850190019502000100200300400Out[41]=…Graphics…In[42]:=Show@G1,G2D1850190019502000100200300400500600Out[42]=…Graphics…In[43]:=Show@G1,G3D1850190019502000100200300400Out[43]=…Graphics…不能预测2012-8-3年179018001810182018301840185018601870人口3.95.37.29.612.917.123.231.438.6年18801890190019101920193019401950人口50.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7年19601970198019902000人口179.3204.0226.5251.4281.4找原因观察相对增长率的变化2011nnnnNNNr2012-8-3年17901800181018201830184018501860增长率%2.953.102.992.972.913.013.082.45年18701880189019001910192019301940增长率%2.442.422.051.911.661.461.021.04年195019601970198019902000增长率%1.581.491.161.051.091.16相对增长率并不是常数！与人口数有关。且随人口数量的增加而减少。In[1]:=data3=881790,2.95,81800,3.10,81810,2.99,81820,2.97,81830,2.91,81840,3.01,81850,3.08,81860,2.45,81870,2.44,81880,2.42,81890,2.05,81900,1.91,81910,1.66,81920,1.46,81930,1.02,81940,1.04,81950,1.58,81969,1.49,81970,1.16,81980,1.05,81990,1.09,82000,1.16In[2]:=G4=ListPlot@data3,PlotStyle-8PointSize@0.02DD18501900195020001.522.53Out[2]=…Graphics…2012-8-3假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。三建立新的预测模型0)0()()()(NNtNNrdttdN0)0()()(NNtrNdttdNLogisitic模型0)0()1()(NNNNNrdttdNm)1790(0)1(1)(trmmeNNNtNmNrssNrNr)(2012-8-3参数估计srNsNrNrm,)(年17901800181018201830184018501860增长率%2.953.102.992.972.913.013.082.45年18701880189019001910192019301940增长率%2.442.422.051.911.661.461.021.04年195019601970198019902000增长率%1.581.491.161.051.091.16用1860年至1990年的数据拟合data5=8831.4,2.45100,838.6,2.44100,850.2,2.42100,862.9,2.05100,876,1.91100,892,1.66100,8106.5,1.46100,8150.7,1.58100,8179.3,1.49100,8204.0,1.16100,8226.5,1.05100,8251.4,0.0109In[42]:=Fit@data5,81,x,xDOut[42]=0.0250248-0.0000630811xIn[30]:=0.0250248096618804520.00006308112687483403Out[30]=396.708拟合结果：year0.25025/10r708.396mN)1790(0)1(1)(trmmeNNNtN2012-8-3模型分析)1790(0)1(1)(