浙大城院数学建模8

11:06:15MCM1第八章逻辑模型§8.1逻辑与数学§8.2对数字的某些研究§8.3几个数学游戏§8.4平面地图染色的四色问题§8.5公平选举是可能的吗?§8.6信息量应当如何度量11:06:15MCM2敏锐的观察能力与严密的逻辑推理能力是科学研究必须具备的两项基本素质。爱因斯坦说过：“真正宝贵的因素是直觉。”大数学家庞加莱则认为，面对大千世界的复杂事实，研究者要做的事情首先是从所要研究的事实中作一选择。在他看来，作为这种选择的能力是由研究者的直觉能力决定的。直觉是极其宝贵的，可仅凭直觉并不能令人信服。再伟大的科学家也会犯错误，包括犯直觉上的错误。直觉是数学发明的工具，而逻辑则是证明直觉的工具，直觉只有在经过逻辑上完全严禁的证明才会被人们普遍地接受。11:06:15MCM3自从欧儿里得依据公理系统及严格的逻辑推理建立起他的几何学以来，数学的严格性、精确性至少已经经历了两千多年的考验，数学以公理化为标志所达到的高度是其他任何学科都不可比拟的。§8.1逻辑与数学数学研究的是现实世界里数量关系中存在的共性，这些共性的发现自然起源于一个个的实例，但数学所涵盖的知识是前人从这些实例中总结、抽象出来的普遍规律，而不是这些实例本身。11:06:15MCM4从某种意义上讲，数学的发展就可以看成是一个不断建模、不断完善的过程。本节将举出一些浅显的例子来说明数学中的一些概念是怎样产生和发展的，人们又是怎样通过逻辑推理的办法来加深对客观世界的认识的。一个刚开始接触数学的孩子会问妈妈这样的问题：“妈妈，为什么1+2=3？”。也许，孩子的妈妈会回答他说：“傻孩子，你看，这是一个手指头，那是两个手指头，合在一起，不是三个手指头吗？”这回，孩子似乎明白了一点，但他多半并没有真懂。说不定下次他还会去问妈妈什么是2，什么是3？为什么2+3=5?……等等问题。11:06:15MCM5小学算术老师让孩子们背加法口诀表、乘法口诀表，为什么不教他们一个手指头加两个手指头等于三个手指头这样的算术呢。因为1+2=3讲的是一种共性，一个指头加两个指头是3个指头固然不错，可1个苹果加两个苹果不也是3个苹果、一匹马加两匹马不也是3匹马吗？当你真正理解了什么是1+2=3时，你能处理的是一般性的问题，而不只是几个手指头的加减。当然，为了掌握这些普遍的规律，你得先付出一定的代价，例如，你得先理解一个抽象的概念“1”，它既不是一个指头，也不是一个苹果，它代表的是物品的一个单位。11:06:15MCM6为了将来计算得快些，不至于老像孩子那样数着手指头做加减乘除，你还应当背誦一些口诀表。这就使得某些人感到数学太抽象、太枯燥乏味，甚至会有人怀疑学这些抽象的东西究竟有没有用，抽象可以让人们去掌握更一般的规律，但与此同时，抽象也失去了原有的实际背景，使人们在初学时感到费解。抽象过程会产生数学中的“概念”、“公式”（运算规律）及“定理”，你既需要像搞清“什么是1”那样去正确理解数学中的每一个新概念，像背九九表那样通过各种途径来熟练掌握每一个公式与运算规律11:06:15MCM7（例如，你要背出求导公式和求导的运算法则等），也要懂得如何运用逻辑推理去得出新的结果（即定理），包括记住这些定理本身。懂得了这一点，你也就大致知道了学习数学和开展数学研究的基本方法。例8.1（无理数的发现）人们曾经在长达近2000年的时间里无法理解无理数，并因此而引发出所谓的第一次数学危机。11:06:15MCM8古希腊在公元前五世纪时是世界上数学最先进的地区之一，当时，统治古希腊政治、科学、宗教的是一个被称为“友谊联盟”的集团，该集团的领袖人物是赫赫有名的大数学家毕达哥拉斯（注：中学数学中有被称为毕达哥拉斯定理的勾股弦定理，三角形三内角之和等于180度也是毕达哥拉斯最先证明的，他还最先提出黄金分割等，对古代数学的发展作出过卓越的贡献）。11:06:15MCM9古希腊数学家认为，最基本的数是整数，分数不过是两个整数的商（即当时的人们只承认有理数）。可是这种对数的认识却导出了重大的矛盾。据说毕达哥拉斯有一个叫希帕斯的学生，他在公元前470年左右时向老师提了一个问题：边长为1的正方形的对角线的长度是多少？我们都知道，该正方形的边长为2，可是，在当时2并不是一个数。因为如果2(即今天我么说的有理数)，则应存在两个互素的正整数p和q，使得是“数”11:06:15MCM10qp2，故又可得出222qp由于2是素数，2必整除p，即存在1p,使得12pp因而又可得2212qp同样因为2是素数，此式又说明2整除q，从而导出p与q有公因子2的矛盾。正方形的对角线不可能没有长度，上面的证明又说明没有一个当时知道的数是该正方形的长度。毕达哥拉斯无法回答这一问题，为了维护学术理论的权威性，毕达哥拉斯竟指挥其学生们将希帕斯扔进了爱琴海，制造了数学史上的一起特大冤案。11:06:15MCM112究竟是什么？这一问题困扰了人们长达1800多年之久，以至于被人们误认为是数学的一大危机（数学史上称之为第一次数学危机。其实，所谓的数学危机只是原有的数学所表现出来的一些缺陷，而每次“数学危机”的解决都会带来数学上的重大突破）。今天，大家都知道.......168872409773095048804142135623.12它是一个无限不循环小数，不论写到哪一位，得到的都不是211:06:15MCM12产生所谓数学危机的根本原因是由于人们对数的认识（即什么是数的定义）太狭隘了，不承认无理数我们连开方运算也无法实现。可承认无理数又必须具有极限概念。2是1.4，1.41，1.414，……，这样一个无穷有理数列的极限，没有极限概念就无法理解无理数。在很长的一段时期里，人们无法理解无理数，故而把它们称为“无理数”，所以，可以这么说，无理数是逻辑推理生出来的一个“怪蛋”。无理数的引入（随之而来的是极限概念的引入），引起了数学本身突飞猛进的发展。11:06:15MCM13数学是严格的科学，其严格性有时甚至达到了近乎苛刻的地步。有些人可能会认为没有必要这样做，从而对某些严格的证明产生厌倦情绪，殊不知，数学之美，就在于其简洁性与严格性。前面已经讲过，数学不相信猜测，只相信经过严格证明过的东西。从这一意义上讲，数学中每一新成果的诞生都是人们以逻辑为武器所取得的胜利例8.2（导数是什么）求导运算是微积分中的一种重要运算（就像初等数学中的加减乘除一样重要），以求即时速度为例11:06:15MCM14ttSttStS)()(只是ttt时间段内的平均速度，不论t是多么地小，它都不是t时刻的即时速度。但随着0ttS将趋于t时刻的即时速度，这意味着即时速度应当用极限来定义。在今日的微积分教材里是这样来定义导数的：xydxdyx0lim11:06:15MCM15然而，牛顿在创建微积分时使用的却是所谓“流数”x（相当于x）。例如，利用流数法求nx的导数时是这样进行的：xxxxnnxnxxxxxnnnnn...2)1()(221=1...2)1(21nxxxnnnxnn=1nnx11:06:15MCM16上述写法虽然很简单，既运算方便又能解决实际问题（求导运算简便），理所当然地受到了数学界与物理学界的欢迎，但应当指出的是这种写法在逻辑上是不够严密的，有悖于数学的严密性，并引发了所谓第二次数学危机。不难看出，在前几个式子中，我们认为是不等于0的x（否则怎么可以做除数），但要得出最后一式，我们又认为是等于0的，这不是自相矛盾吗？x大主教、哲学家贝克莱曾讥讽地称这个一会儿不等于0一会儿又等于0的东西为“鬼魂”，数学史上则称此矛盾为“贝克莱悖论”。11:06:15MCM17xy牛顿的流数法虽然看起来已引起了悖论，但由于它在解决实际问题时十分有效，在长达两个世纪的时间段里，仍一直被人们广泛地应用于各个领域。直到19世纪，康托、柯西等人建立了严格的极限理论，才最终解决了这一问题。原来，我们要求的是变化的趋势（即极限），并不等于0，但趋向于0，而导数则是在xx0x时变量的变化趋势。极限和导数概念的出现为高等数学的产生和发展奠定了基础，引领人们走进了一个全新的数学境地。11:06:15MCM18例8.3（实数域概念的产生）牛顿、莱布尼兹虽然建立了微积分，但当时的微积分还包含着另一个严重的问题。极限的引入使人们认识了无理数，从而产生了实数的概念。22可是实数列的极限是否必定也是实数呢，会不会产生像有理数那样的情况（例如不是可以写成有理数列的极限却不是有理数）。吗，但这一问题直到20世纪初才被解决，人们证明了实数的完备性，即任意实数列的极限必定仍是实数，这才使我们完全放下心来，微积分才真正成为了一门严格的数学学科。11:06:15MCM19全体实数组成的集和不同于全体有理数组成的集合，在全体实数组成的集合中，你除了可以放心地进行加减乘除以外、也可以大胆地乘方、开方，不必担心运算的结果是否会出界。具有这种性质的数集被称为“数域”，故全体实数组成的集合被人们称为实数域。实数域的完备性则进一步说明在实数域中你甚至还可以大胆地进行极限运算，不必担心计算结果是否会出界。例8.4（在实数集中到底是有理数多还是无理数多）人们在接受无理数并搞清了实数集的完备性（即实数集中只有有理数与无理数）后，自然会想：究竟是有理数多还是无理数多？让我们再一次运用逻辑推理的方法来简要地讨论一下这一问题。11:06:15MCM20为了简单起见，我们仅比较[0,1]区间中的有理数和无理数。不难看出，[0,1]区间中有无穷多个有理数，也有无穷多个无理数，也就是说，[0,1]区间内的有理数全体和无理数全体是两个无限集（即包含有无穷多个元素的集合）。两个无限集合是否能比较大小（即包含元素的多少）呢？没有学过高等数学的人会认为无限集有无穷多个元素，怎么进行比较，或者认为无限集中有数不完个数的元素，因而，无限集有同样多的元素。然而，一个训练有素的人却不会这样想，他们不会仅凭感觉做出判断，而会以逻辑推理为工具，去推导出这一问题的答案。11:06:15MCM21显然，我们不能再靠数元素个数的方法来比较集合的大小了（有限集比较大小是这样进行的），因为无限集中有数不完的元素。那么，怎样比较集合的大小呢？看来只好采用1-1对应的办法。如果两个集合中的元素可以1个对1个地对应起来，我们就应当认为这两个集合中的元素是一样多的。但假如我们这样来看问题，那么，整体大于部分就不一定成立了（只学过初等数学的人常常以为这总是对的），例如，自然数全体和偶数全体应当看成有同样多的元素个数，尽管自然数集合中还有大量的奇数。为什么呢？因为只要你让nn2自然数与偶数之间不就1-1对应了吗？请看：11:06:15MCM22123456789101112··········24681012141618202224··········难道将自然数集中的每一个数都乘以2，集合中的元素个数也会减少吗？有了比较集合大小的方法，我们就可以开始进行比较了。考察由区间[0,1]中的全体有理数构成的集合，为叙述方便我们把它记成R，R中有无穷多个元素，显然有我们可以将Rr10r它们按如下规则排成一列：每一有理数均可写成既约分数p/q11:06:15MCM23qp先排q1较小的，在q相同的时候则先排p较小的，即排成：1，1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5，2/5，3/5，4/5，………将此数列记为,.........,.........,,321nrrrr这种可以按先后顺序排成一列的无限集合被称为可列集。n2现取一个充分小的正数ε，作一个长度为的小区间把nr包围起来，（注意：一个数即11:06:15MCM24为一个点，数学认为点是没有长度的，故任何长度大于零的区间均可将一个数包在里面）。这样的小区间有无穷多个，它们已将R中的所有元素包围起来，这些小区间的长度之和为：12nn由于ε可以任意小，故[0,1]中的有理数全体可以用总长度任意小的区间列包起