浙大城院数学建模2

11:07:33MCM1第二章、初等模型对于一些较简单的问题，只需要应用初等数学或简单的微积分知识即可建模加以研究。而对于一些过于复杂的黑箱模型，如果目前还没有可能作深入细致的研究，那么，应用初等方法对它先作一番粗略的分析研究也是十分有意义的。本章将结合实例，介绍一些对问题作粗略研究的技巧与方法。11:07:33MCM2某航空母舰派其护卫舰去搜寻一名被迫跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母向护卫舰通报了航母当前的位置、航速与航向，并指令护卫舰尽快返回，问护卫舰应当怎样航行，才能在最短时间内与航母汇合。§2.1舰艇的会合为计算方便，我们假设海洋是一个平面，建立平面直角坐标系如图2-1所示，航母在A(0,b)处，护卫舰在B(0，－b)处，两者间的距离设为2b。。图2-111:07:33MCM3设航母沿与x轴正向夹角为的方向以速度v1行驶(假设v1为常数)，护卫舰将沿与x轴正向夹角为的方向以速度v2行驶,并设汇合地点为P(x,y)。我们记(设v2为常数，从而亦为常数，后面会说明，令v2为常数是有理由的)。1221vava讨论根据题意，护卫舰和航母将在某段时间之后同时到达会合地点，护卫舰到达会合地点所行进的距离应该为航母行进距离的倍，即，将各点坐标带入得：aBPaAP22222()(())xybaxyb11:07:33MCM4此方程为会合地点的轨迹方程。故2222222(1)(1)2(1)(1)0axayabyab（2.1）若，即航母速度与护卫舰速度相等，则(2.1)式可化为，其解为y=0。因此这种情况下会合地点必然在线段AB的垂直平分线即x轴上(见右面的图2-2)，护卫舰只需沿与x轴正向成的方向以速度v1行驶即可完成会合。1a40by1图2-211:07:33MCM5若，(2.1)式可化为即令，则上式可以简记为1a2222212()01axybyba22222222141(1)aabxybaa22212,11aabhbraa222()xyhr（2.2）此时会合地点的轨迹为一个以(0,h)为圆心、r为半径的圆。11:07:33MCM6显然，h的正负由a的大小来确定，但不论h是正是负，易见|h|b且|h|r，即圆心(0,h)位于AB所在直线(即y轴)上，但不在线段AB上，整个圆(2.2)位于x轴上方(若a1)(见图2-3)或整个位于x轴下方(若a1)。图2-3若a1，护卫舰的速度v2大于航母的速度v1。11:07:33MCM7由于222222(1)40,0(1)(1)drbadhabdaadaa不难看出：a越大，r也越小；h越小，|AP|也越小，故为了与航母尽早会合，护卫舰必以其最大可能的行驶速度行驶，这也说明，我们假设v2与a均为常数是合理的。假如a1，即航母的速度v1大于护卫舰的速度v2，我们可以作类似的讨论，本处从略。但这种情况一般不会发生，因为护卫舰应当比航母更灵活，开得也更快，否则就无法发挥其保护航母的作用，反倒有可能成为航母的累赘。11:07:33MCM8现在讨论如何求护卫舰应取的航行方向。先求出航母航行方向与圆(2.2)的交点，即求解方程组求得交点P(x,y)后，将x、y代入方程中以求出，即求出此即护卫舰应取的航行方向。2221()(tan)xyhryxb（2.3）2(tan)yxb22arctanybx本模型虽很简单，但分析非常清晰且易于实际应用：护卫舰可事先编好程序，一旦航母告知了航行的方向与速度，护卫舰上的计算机可立即求出a，进而求出h、r及会合地点P(x,y)，最后求得自己的航行方向(护卫舰总以最大航速去会合，故关键是求出航向)。211:07:33MCM9我们曾将本节讨论的内容布置为最初几节课的习题让学生自己来解答，只有少数同学能将问题分析得这样清楚且便于实际使用。但也有同学给出了更加简单的确定护卫舰航行方向的方法：不妨假设a1，在获知航母的航向和速度之后，根据护卫舰自身的最大速度，马上可以求出a。假设按照航向与航母会合的时间为T，则在时间T内护卫舰行进的距离应为航母的a倍。如图2-4所示图2-4211:07:33MCM10，，，，由正弦定理马上可以确定出护卫舰的航向1PAvT1PBavT12PAB22PBA1211sin()sin()22avTvT12cosarccos()a11:07:33MCM11§2.2三村短路问题有三个村庄，由于条件所限，打算合建一所小学，并且共同修筑从小学到各村的道路。问应该将小学的地址选在什么地方，才能使修筑的道路总长度最短呢？这是一个著名的趣味数学问题，称为三村短路问题。设三个村庄的位置分别为点A1，A2，A3，小学的位置是点P，则三村短路问题可叙述为：A1，A2，A3为平面上三个不同的点P，在平面上求一点，使得它到这三个已知点的距离之和S=|PA1|+|PA2|+|PA3|最小。11:07:33MCM12解法一：(微分法)在平面上建立直角坐标系，设已知Ai坐标为(xi,yi)(i=1,2,3)，所求点P坐标为(x,y)．则我们只需求二元函数S=f(x,y)的最小值点即可。222222112233()()()()()()Sxxyyxxyyxxyy解法二：(几何方法)如图2-5所示，设P是△A1A2A3内的任意点，将△A1A2P绕A2向外旋转60°，到达△A2P’A3’的位置。显然：|PA1|=|P’A3’|，又因为A2A3’是由A2A1旋转60°而来，故|A2A3’|=|A1A2|，△A1A2A3’为正三角形。图2-511:07:33MCM13同理，△PA2P’也为正三角形，故可知|PP’|=|PA2|。于是，即可得到|PA1|+|PA2|+|PA3|=|A3’P’|+|P’P|+|PA3|那么要使|PA1|+|PA2|+|PA3|最短，只须使|A3’P’|+|P’P|+|PA3|最短即可，而后者是折线A3’P’PA3的长度，因为A3、A3’都是定点，我们知道，两点之间的最短路径是连接它们的线段，故最短时的点P和P’必在线段A3A3’上。此时可得∠A2PA3=∠A2P’A3’=120°，而∠A2P’A3’=∠A2PA1，故∠A2PA1=120°，最终我们有∠A1PA2=∠A2PA3=∠A3PA1=120°。三角形内满足此关系的点P就是所求之点(注：这样的点被称为斯坦纳点或费马点，关于斯坦那点，后面我们还将作进一步的介绍)。11:07:33MCM14由点P的特征∠A1PA2=∠A2PA3=∠A3PA1均为120°，我们知道P点就是三角形中的费马点(后面的章节将有详细介绍)。费马点位置的确定方法数学上已经有很多了，我们介绍一种较为简便的方法：分别以A1A2，A1A3为一边，向△A1A2A3的外部作正三角形△A1A2A3’和△A1A2’A3(如图2-6所示)图2-6连结A3A3’、A2A2’，设其交点为P，则点P即为小学选址地点。11:07:33MCM15以上的讨论只适用于△A1A2A3的每个角均小于120°的情形，如果△A1A2A3中有一个角大于或等于120°，则应该将小学的位置取在钝角的顶点上。解法三：（物理方法）易见点其实是△的重心，这一想法提示我们可采用下面的物理方法求解：将三个已知点，，的位置按比例画在一个平的薄板之上，用锥子在这三点处各钻出一个光滑的小洞。取三根长度相同的细线（其长度应大于最大边的长度），将三根线的一端合并，打个结；另一端分别穿过小洞，（从上到下穿出），取质量相等的三个重物挂在每根线的下端。让薄板保持水平，三个重物自由下垂，此时薄板上的线被拉紧（注：设没有摩擦力），则线结停留的位置即为我们所求的点。（如图2-7所示）11:07:33MCM16图2-7为什么线结会自动停在长度之和最小的位置呢？设每个重物的质量为m。首先，由力学原理，系统处于平衡位置时，三个重物的总势E能达到最小值。薄板所在位置的水平高度我们记为0，由于三个重物均在薄板的下方，故它们的高度均取负值，且高度的绝对值等于细线长度l与薄板上洞口和结点之间的距离之差，即第i个重物的高度||0iihPAl其势能为(123)iiEmghi，，11:07:33MCM17三个重物的总势能为123123123(||||||)3EEEEmghmghmghPAPAPAmgl由于m,g,l均为常量，故E取到最小值当且仅当||||||321PAPAPAS因此，系统处于平衡位置时，结点所在位置即为我们要寻找的点的位置。11:07:33MCM18另一方面，系统处于平衡位置时，P点所受合力应为0。假设结点的平衡位置P与均不重合，则点只受到来自三条线的拉力,其大小相等，等于每个重物的重量，其方向分别指向三点。三个大小相等的力，,平衡的条件为：三个力在同一平面内且两两夹角均等于120°。也就是说：线段，,两两的夹角均为120°。123,,AAAmg123,,FFF123,,AAA123,,FFF123,,PAPAPA若中有某个角大于或等于120°，则P点在合力作用下将被拉到点，点就是我们的选址地点。123AAAiAiA11:07:33MCM19三村短路问题其实是最简单的斯坦纳（Steiner）树问题，原问题是：给定平面上的n个点，要求找出连接这n个点的最短网络。对于一般的Steiner树问题，由于计算量的原因，求解极其困难（参见第六章中的计算复杂性），但n=3时并不难解。最先研究Steiner树的其实并非Steiner，而是大名鼎鼎的高斯（Gauss）。高斯的一个儿子是铁路工程师，他想知道建造铁路连接三个城市时应当怎样建才能使总长度最短，就写信请教了自己的父亲，高斯在回信时作了解答。大数学家费马也曾用本题考过自己的学生，要求学生给出连接三点的最短方法。只要你能想出办法，其实证明并不太困难。11:07:33MCM20费马的办法是这样的：作，任取其中的一边，例如，取边。以为一边，在三角形的另一侧作一个等边三角形，作此等边三角形的外接圆，连接和，设与等边三角形的外接圆相交与S，则S点即为所求之点。S点为什么就是所求之点，请读者自行分析并加以证明。123AAA23AA23AA23AAB1ABBA1读者还可以进一步讨论一下问题：如果有四村或更多的村庄要合建一所小学，那么小学的位置应如何选取，如果村庄i有学生数，那么，为了让学生走的总路程最少，学校又该建在何处。请读者考虑一下：上面叙述的几种方法能否继续使用，如果能，怎么使用，优缺点如何？（注：这一被推广的问题即著名的最优选址问题，它有很强的实际背景）。），，niKi...1(,11:07:33MCM21到过东北地区的同学可能会发现，那里的大部分建筑物的窗户都是双层的，即窗户上装有两层玻璃且中间留有一定的空隙。据当地居民说，安装双层玻璃窗户的房间与同类型的只安装单层玻璃窗户的房间相比，保暖效果要强得多。仅仅是多装了一层玻璃就会有这么强的保暖效果吗？在本节中，我们将建立数学模型来描述热量通过窗户的流失（传导）过程，并将双层玻璃与用同样多材料做成的单层玻璃的热量流失（传导）作一对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出一定程度的定量分析。双层玻璃和单层玻璃的图形如图2-8所示：§2.3双层玻璃的功效11:07:33MCM22图2-811:07:33MCM23模型所需的符号见下表：符号符号意义单位双层玻璃厚度厘米室内温度摄氏度室外温度摄氏度双层玻璃内层玻璃外侧温度摄氏度双层玻璃外侧玻璃内侧温度摄氏度双层玻璃热量损失焦耳单层玻璃热量损失焦耳d1T2TaTbTQQ11:07:33MCM24l1k2k双层玻璃内间隔距离厘米玻璃的热传导系数焦耳/厘米•秒•摄氏度空气的热传导系数焦耳/厘米•秒•摄氏度11:07:33MCM25模型假设：（1）热量的传播过程中只有传导没有对流，即假定房间的密封性能很