浅谈几何直观在小学数学教学中的应用

徐州高等师范学校毕业论文（2015届）浅谈几何直观在小学数学教学中的应用毕业生姓名xxxx毕业生学号2010165指导老师姓名朱允洲专业名称小学教育所属系科文理系论文提交时间2015年1月摘要《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”；著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”；也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”；弗赖登塔尔说：“几何直观可以告诉我们什么是重要的有趣的和容易进入的，当我们陷入问题观念方法的困扰时，几何可以拯救我们！2011年《新课标》将原来课程内容的六个核心概念增加到十个，其中“几何直观”就是其中新增的一个核心概念，几何直观在数学中，不管是做题还是教师教学都有着不可忽视的作用，本文将浅要谈谈几何直观在小学教学中的实际应用。关键词：几何直观、数学教学、思维方式、实际应用、如何培养目录一什么是几何直观......................................1二几何直观在小学教学中的体现..........................21.实物直观演示2.图形直观操作3.图形直观表示三几何直观的意义......................................31.几何直观能够培养学生的创造性思维2.几何直观能够帮助学生理解数学3.几何直观能够培养学生科学的思维方式四几何直观在小学教学中的应用...........................51.在困惑中产生画图的需求，初步培养学生借助几何直观理解和分析问题的意识2.让学生经历几何直观呈现的过程，发挥几何直观在数学学习中的价值3.通过几何直观探究数学本质，帮助学生充分理解概念五如何培养小学生的几何直观能力.......................11浅谈几何直观在小学数学教学中的应用一、什么是几何直观？1952年，我国首次制订的中小学数学教学大纲提出，小学“算术教学应该培养和发展儿童的逻辑思维能力”，中学数学应该“发展学生生动的空间想象力，发展学生逻辑的思维力和判断力”。1963年，根据华罗庚、关肇直等专家的意见，中小学数学教学的能力培养任务修改为培养“计算能力、逻辑推理能力和空间想象力”（即传统的三大能力）。1988年，九年义务教育数学教学大纲将能力培养任务改为“培养运算能力、发展逻辑思维能力和空间观念”。2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出“丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维”。2011年版课标把几何直观作为十个核心概念之一，并明确指出几何直观的含义，阐明其教育价值。由我国几何课程基本要求可以看出，从空间想象能力到空间观念，再到几何直观能力，几何直观的建立和发展是一个历史演变过程。《标准》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.”；著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”；也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”；弗赖登塔尔说：“几何直观可以告诉我们什么是重要的有趣的和容易进入的，当我们陷入问题观念方法的困扰时，几何可以拯救我们！从这些描述中，我们可以有以下的认识：◆几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方式.◆这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的——即“几何”两字的意义.◆用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向——即“直观”两字的意义.例如，三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生较难理解.此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）以下几何图形（图1）的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理.学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可以说学生有几何直观的能力.二、几何直观在小学教学中的体现康德认为，直观分为经验直观和纯粹直观。孔凡哲、史宁中认为，在中小学数学中几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。还有人认为，几何直观具有创造性和工具性，其目的是利用图形描述和分析数学问题。因此，从数学功能看，几何直观在小学数学中的具体体现有实物直观演示、图形直观操作和图形直观表示。1.实物直观演示实物直观演示是指借助与研究对象有一定关联的现实世界中的实际存在物，进行简捷、形象的思考和判断。实物直观演示既可以是实际存在物，如球体、柱体、锥体、长方形、平行四边形、梯形、圆、椭圆等；也可以借助计算机、七巧板、木棒等辅助的实物直观演示，引导学生通过观察、操作等活动，感受和探索图形的特征，积累图形与几何的活动经验，建立初步的空间观念。一旦借助实物直观演示用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。例如在教学小学数学五年级《长方体与正方体的认识》时，教师不妨拿一个长方体及正方体的纸盒，让学生更直观的看到长方体和正方体的特征，更清楚地明白长方体和正方体的特点，为以后的面积及体积的教学打下坚实的基础。2.图形直观操作（图1)(图2）图形直观操作是指对实物的动手操作或图形运动操作进行几何直观探索。直观操作分为两类：一类是实物的动手操作，包括折纸、展开、折叠、切截、拼摆、密铺等操作活动，能帮学生积累丰富的几何事实，获得对简单几何体和平面图形的直观经验；例如在教学三年级《认识轴对称图形》教师可以拿一些是轴对称图形的折纸来直观演示轴对称图形的特征；另一类是图形的运动操作（如平移、旋转、反射等运动），如“点动成线”“线动成面”“面动成体”，半圆以直径为轴旋转可以形成球体，矩形以一边为轴旋转可以成为圆柱体，直角三角形以直角边为轴旋转可以成为锥体等。借助图形直观操作可以帮助学生发现、寻找解决问题的思路。因此，教师应该引导学生经历观察、操作等具体的感知过程，培养他们借助图形思考的能力。3.图形直观表示图形直观表示是指借助明确的几何图形来描述和分析数学问题。图形直观表示是一种表征方式，是一种工具符号，主要分为两类：一类是“形形表示”，如借助三视图、网格、直角坐标系等图形工具探索、描述和分析几何问题；另一类“数形表示”，利用几何图形直观探索、描述和分析几何以外的其他数学领域的问题，如利用数轴研究方向等。借助图形直观表示图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，促进数学的理解；通过图形进行观察，有利于信息回忆和方法的促成；根据直观认识来研究图形的性质和相关问题有助于数学问题结构的揭示。可以说，几何直观不仅解决“图形与几何”的学习中存在的问题，并且贯穿在整个数学学习过程中。三、几何直观的意义1.几何直观能够培养学生的创造性思维几何通常被喻为“心智的磨刀石”，在数学研究中起着联络、理解，甚至提供方法的作用。从创造力来看，直观能引出数学发明，能决定理论的形式和研究方向；从数学证明上看，直观常常提供证明的思路和技巧，有时严格的逻辑证明无非是直观思考的严格化和数学加工。数学家总是力求把他们研究的问题变成几何直观问题，使他们成为数学发现的向导。在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。如，利用平面图形认识分数的乘法，借助韦恩图计算“重叠应用问题”等。所谓的“看”是一种直接判断，是建立在长期有效的观察和思考的基础之上的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。因此，在数学教学中保护学生先天的几何直观的潜质，培养和不断提高学生的几何直观水平，就成为数学教育的一个重要的价值追求。2.几何直观能够帮助学生理解数学几何直观在数学中无处不在。数学家依赖直观推动对数学的思考，加强对数学的理解。几何直观不仅是一切几何学的基础，而且贯穿在整个数学学习过程中。正如美国数学家阿蒂亚所言：“在几何中，视觉思维占主导地位，而代数中有序思维占主导地位。所以，几何首先用到的是最直接的形象思维，用形象思维洞察。”几何直观能利用图形生动形象地描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，是理解数学的有效渠道。例如，借助地图理解比例，利用直观图理解正方形边长和面积的关系，借助数轴认识小数的意义，借助“线路图”理解行程问题，借助网络图理解单元知识等。著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但当这两门学科结合成伴侣时，它们就相互吸收新鲜的活力，从而以快速的步伐走向完美。”因此，教师在数学教学中要挖掘教材资源，利用信息技术工具，展现丰富多彩的图形世界，设计“借助几何直观进行思考”的典型案例；要注意让学生经历动手操作、图形制作的过程，培养学生用几何直观描述、分析问题的意识，培养学生的画图能力，文字语言、符号语言和图形语言相互转化的能力，为学生使用几何直观理解数学提供保障。3.几何直观能够培养学生科学的思维方式数学抽象概念发展的“直观—形式—直观”模式，是一般科学概念发展“具体—抽象—具体”模式的特殊表现形式。几何直观具有原始的创造性。数学经过形式化而趋于完美，又通过直观化而返璞归真，这正是数学发展的辩证过程。正是形式化与直观化之间的矛盾运动推动了数学的发展以及科学的发展。数学教学应该借助几何直观、几何解释启迪学生思路，利用直观背景或者几何直观帮助学生理解和接受抽象的内容和方法，为学生创造主动思考的机会。例如，借助数轴认识小数的意义，利用直观图理解异分母分数加减法先通分的必要性，能使学生借助直观图，从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程，使学生从非形式化的、算法的直觉相互作用与矛盾中形成数学观。可见，直观本身不是目的，而是手段。对于学生的数学学习而言，用图形说话、用图形描述问题、用图形讨论问题等，就是为了形成生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。4.几何直观能够帮助学生感悟数学美数学美，不仅美在抽象简约，也美在直观多姿，而几何直观能够充分凸显其结构美。例如，利用直观感悟圆的对称美、理解圆的基本结构和性质；利用直观了解分形几何的奇异美；利用几何直观让学生感悟、发现美，如借助正方形或三角形计算1+3+5+7+9+……，利用直观理解直柱体体积公式的统一美，感受数学的普遍联系。所以，培养小学生几何直观能力，不仅能提高学生学习数学的基本素养，而且可以将几何美的直观、对称、奇异、统一等特征融入整个教学过程中，使学生在美的享受中发现知识、理解知识，在潜移默化中感受数学美。四、几何直观在小学教学中的应用1、在困惑中产生画图的需求，初步培养学生借助几何直观理解和分析问题的意识新课程强调：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学在前，教在后，教只有贴合学，方能有效。基于此认识，我认为数学教学，一定要从学生的需要与困惑出发。如果教师以自己的机械指导过度牵制学生的自主体验，以自己的教学讲解全盘替代学生的主体思维，那我们培养的学生多数会是解题的领袖，而非数学思考的领袖！课堂是学生学习、发展的场所，做教师的一定要设法把课堂还给学生，让学生去尝试、让学生去讲解，让学生由被动的接受变为主动的建构。例如二年级乘法口诀的教学，没有很多老师给予太多的关注，能够熟背口诀是最基本的教学任务，有些家长早已让孩子背的滚瓜烂熟。而有一位教师在教学乘法口诀时，更注重让