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第三章函数及其图象第12讲平面直角坐标系与位置的确定考点一平面内点的坐标1．(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.考点二特殊点的坐标特征1．(1)平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等．(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数．3．对称点的坐标的特征点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．以上特征可归纳为：(1)关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．(2)关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数．考点三1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法：(1)平面直角坐标法建立平面直角坐标系时应注意以下几点：①建立平面直角坐标系的方法很多，由于坐标系的选择直接影响着计算的繁简程度，所以建立平面直角坐标系时，要以能简捷地确定平面内点的坐标为原则．②由点的坐标也可以确定点所在的平面直角坐标系，其方法是采用“逆向思维”，通过在已知平面直角坐标系中描点来寻求问题的解题思路．(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化．3．无论在平面内用何种定位法确定点的位置，一定要注意用两个数据表示，二者缺一不可．确定物体位置的方位(1)(2009·南充)在平面直角坐标系中，点A(2,5)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是()A．(－5，－2)B．(－2，－5)C．(－2,5)D．(2，－5)(2)(2009·锦州)2008年5月12日，在四川省汶川县发生里氏8.0级特大地震，能够准确表示汶川这个地理位置的是()A．北纬31°B．东经103.5°C．金华的西北方向上D．北纬31°，东经103.5°(3)(2010·金华)在平面直角坐标系中，点P(－1,3)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(4)(2009·武汉)如图是象棋盘的一部分，若○帅位于点(1，－2)，○相位于点(3，－2)，则○炮位于点()A．(－1,1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－2,2)【点拨】(1)题点P(x，y)，所以点A(2,5)关于y轴的对称点B的坐标是(－2,5)；(2)题确定点的位置，必须用两个数据表示；(3)∵点P(x，y)在第二象限时，x0，y0，∴点P(－1,3)在第二象限．(4)题关键是由○帅的位置和○相的位置确定原点的位置．【解答】(1)C(2)D(3)B(4)C(2009·镇江)如下图，在平面直角坐标系中，(1)写出A、B、C各点坐标；(2)A、B两点的纵坐标有什么关系？(3)你会求图中三角形ABC的面积吗？与同学交流．【点拨】写点的坐标时，必须明确点的位置，当点在象限内时，注意象限符号，当点在x轴上时，纵坐标为0，当点在y轴上时，横坐标为0；在方格内求三角形的面积时，可采用“割补法”或直接求．【解答】(1)A(－2，－2)，B(3，－2)，C(0,2)；(2)A、B两点的纵坐标相等；(3)方法一：S△ABC＝12×5×4＝10.方法二：S△ABC＝4×5－12×2×4－12×3×4＝20－4－6＝10.1．点A(2，－3)关于x轴的对称点的坐标为(A)A．(2,3)B．(－2，－3)C．(－2,3)D．(2，－3)2．如图所示是中国象棋的一盘残局，如果用(4,0)表示○帅的位置，用(3,9)表示○将的位置，那么○炮的位置应表示为(A)A．(8,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(8,8)3．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△Α′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为(D)A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4,2)4．已知点P(x，y)在函数y＝1x2＋－x的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝2，则点B的坐标为(C)A．(2，1)B．(1，2)C．(2＋1,1)D．(1，2＋1)6．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是(B)A．(4,0)B．(1,0)C．(－22，0)D．(2,0)7．点P在第四象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P的坐标为(3，－2)．8．线段CD是由线段AB平移得到的，点A(－1,4)的对应点为C(4,7)，则点B(－4，－1)的对应点D的坐标是(1,2)．考点训练12平面直角坐标系与位置的确定训练时间：60分钟分值：100分平面直角坐标系与位置的确定训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1．(2009中考变式题)如右图，点A关于y轴的对称点的坐标是()A．(3,3)B．(－3,3)C．(3，－3)D．(－3，－3)【解析】由图可得A(－3,3)，所以点A关于y轴的对称点是(3,3)．【答案】A2．(2011中考预测题)若点P(a,4－a)在第二象限，则a必须满足()A．a4B．a4C．a0D．0a4【解析】∵点P在第二象限，∴a0且4－a0，∴a0.【答案】C3．(2009中考变式题)在直角坐标系中，点P(4，y)在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是()A.433B．43C．－3D．－1【解析】y＝4tan60°＝43＝43.【答案】B4．(2010·珠海)在平面直角坐标系中，将点P(－2,3)沿x轴方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标是()A．(－2,6)B．(－2,0)C．(－5,3)D．(1,3)【解析】沿x轴方向向右平移3个单位，则横坐标加3，纵坐标不变，所以－2＋3＝1，Q(1,3)．【答案】D5．(2009中考变式题)若点P(a，b)在第四象限，则Q(－a，b－1)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为P(a，b)在第四象限，∴a0，b0，∴－a0，b－10，∴Q(－a，b－1)在第三象限．【答案】C6．(2011中考预测题)将△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以－1，纵坐标不变，则所得图形与原图的关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．将图形向x轴的负方向平移了1个单位【解析】因为纵坐标不变，横坐标乘以－1，所以这两个三角形关于y轴对称．【答案】B7．(2011中考预测题)如图，已知棋子“车”的位置为(－2,3)，棋子“马”的位置为(1,3)，则棋子“炮”的位置为()A．(3,1)B．(－2,2)C．(2,2)D．(3,2)【解析】由车(2,3)、马(1,3)确定出原点(0,0)，可求得炮(3,2)．【答案】D8．(2010·临沂)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．若OA＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标是()A．(2＋2，2)B．(2－2，2)C．(－2＋2，2)D．(－2－2，2)【解析】2sin45°＝2×22＝2，2cos45°＝2×22＝2，∴点B(－2－2，2)．【答案】D9．(2010·遵义)在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A(2,3)、B(4,1)，A、B两点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是()A．(1,0)B．(5,4)C．(1,0)或(5,4)D．(0,1)或(4,5)【解析】分别以A、B为圆心，以10为半径画圆，两圆的交点即为“宝藏”的位置．【答案】C10．(2010·荆门)如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为()A．2B．3C．4D．5【解析】OA＝22＋12＝5，以A为圆心，OA为半径画圆，交x轴于点P1(4,0)；以O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于P2(－5，0)，P3(5，0)；作线段OA的垂直平分线交x轴于点P4，所以符合条件的动点P有4个．【答案】C二、填空题(每小题4分，共32分)11．(2010·常州)点P(1,2)关于x轴的对称点P1的坐标是________，点P(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是________．【解析】点(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，－b)，关于原点对称的点的坐标为(－a，－b)．【答案】(1，－2)(－1，－2)12．(2010·金华)如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是________．【解析】连结CC1、AA1相交于一点，即为点E，∴E(3，－1)．【答案】(3，－1)13．(2011中考预测题)如图是绍兴市行政区域图，若上虞市区所在地用坐标表示为(1,2)，诸暨市区所在地用坐标表示为(－5，－2)，那么嵊州市区所在地用坐标可表示为________．【解析】根据两个已知点的坐标，先确定出坐标系原点，再确定所求坐标．【答案】(0，－3)14．(2009中考变式题)如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为________平方单位．【解析】△ABC的面积为3×4－12×1×3×2－12×2×4＝12－3－4＝5.【答案】515.(2011中考预测题)如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA＝3，AB＝1，则点A1的坐标是________．【解析】由题意得∠AOB＝30°，OA1＝OA＝3，设A1(x，y)，则x＝OA1×cos60°＝32，y＝OA1×sin60°＝32，∴A1(32，32)．【答案】(32，32)16．(2009中考变式题)如图，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的．左边图案中左右眼睛的坐标分别是(－4,2)、(－2,2)，右边图案中左眼的坐标是(3,4)，则右边图案中右眼的坐标是________．【解析】左眼坐标的变化是横坐标加7，纵坐标加2，右眼坐标要作相应的变化，所以右眼(－2,2)变化为(5,4)．【答案】(5,4)17．(2010·宜宾)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4)．连结OA，若在直线a上存在点P，使△AOP是等腰三角形，那么所有满足条件的点P的坐标是__________．【解析】∵OA＝32＋42＝5，以A为圆心，OA为半径画弧交直线a于点P1(8,4)、P2(－2,4)；以O为圆心，OA为半径画弧，交直线a与点P3(－3,4)；作线段OA的垂直平分线交直线a与点P4(－76，4)．【答案】(8,4)、(－3,4)、(－2,4)、(－76，4)18．(2011中考预测题)在直角坐标系中，第四象限内的点M到纵轴