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第30讲与圆有关的位置关系考点一点、直线与圆的位置关系1．点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆外、点在圆上和点在圆内．如图，设⊙O的半径为r，平面内任一点到圆心的距离为d，则(1)点在圆外⇔dr，如点A；(2)点在圆上⇔d＝r，如点B；(3)点在圆内⇔dr，如点C.2．直线与圆的位置关系相交相切相离公共点的个数210公共点名称交点切点无直线名称割线切线无3.直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔dr；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔dr.考点二切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．温馨提示：1.要证的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径，证垂直”.2.给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“连半径，证垂直”.3.当直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直，证相等”.考点三切线长定理1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．考点四三角形的外接圆和内切圆名称三角形的外接圆三角形的内切圆圆心名称三角形的外心三角形的内心描述经过三角形三顶点的圆，外心是三角形三边中垂线的交点与三角形三边都相切的圆，内心是三角形三条角平分线的交点图形示例性质三角形外心到三角形三个顶点的距离相等三角形内心到三角形三边的距离相等考点五正多边形与圆1．圆内接正多边形与外切正多边形：把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是圆的内接正n边形，这个圆是正n边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，这个圆是正n边形的内切圆．2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．考点一点与圆的位置关系例1(2014·梧州)已知⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为7，则点A与⊙O的关系是()A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【点拨】由题意可知，点到圆心的距离d与半径r的关系是d＞r，故点A在⊙O外．故选C.【答案】C考点二直线与圆的位置关系例2(2014·西宁)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d、R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．【点拨】∵R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，且直线l与⊙O相切，∴d＝R，∴方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝16－4m＝0，解得m＝4.【答案】4考点三切线的性质例3(2014·济南)如图，AB与⊙O相切于C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16，求OA的长．【点拨】本题考查切线的性质，连接过切点的半径是解题的关键．解：在△OAB中，∵∠A＝∠B，∴OA＝OB.连接OC，则OC⊥AB，OC＝6，AC＝BC＝8，∴OA＝OC2＋AC2＝62＋82＝10.方法总结：已知圆的切线，若图中没有连接切点的半径，可连接切点与圆心构造直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理或直角三角形的两锐角互余解答问题.考点四切线的判定例4(2014·常德)如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．【点拨】本题考查切线的判定与圆的相关性质，连接过切点的半径证垂直是解题的关键．解：(1)证明：如图，连接OD，∵OD＝OA，EA＝ED，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ODE＝∠OAE.∵AB⊥AC，∴∠OAE＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线．(2)∵OA＝3，AE＝4，∴OE＝5.又∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.∴∠1＋∠5＝90°，∠2＋∠6＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴DE＝EC.∴E是AC的中点．∴OE∥BC且OE＝12BC.∴BC＝10.方法总结：证明圆的切线分为三种情况：有过切点的半径，证垂直；有切点，无半径，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证相等.1．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l和⊙O的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：∵⊙O的半径r＝4cm，圆心O到直线l的距离d＝3.5cm，∴d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选A.2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB.若∠ABC＝70°，则∠A等于()A．15°B．20°C．30°D．70°解析：∵BC与⊙O相切于点B，∠ABC＝70°，∴∠ABO＝20°.又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝20°.故选B.答案：B3．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP.如果⊙P是以点P为圆心、PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内解析：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，且BP＝3AP，∴AP＝2，BP＝6.∴PD＝22＋352＝7，PC＝62＋352＝9.∴BPPD，PCPD.∴点B在圆P内，点C在圆P外．故选C.答案：C4．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心、半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是()A.－1≤x≤1B．－2≤x≤2C．0x≤2D．x2解析：如图，当过点P的直线与⊙O在右边相切时，x取得最大值．设切点为C，连接OC，则OC⊥CP.在Rt△OCP中，OC＝1，∠OPC＝∠AOB＝45°，∴OP＝2，即x＝2.同理当过点P的直线与⊙O在左边相切时，x＝2，∴0OP≤2.故选C.答案：C5．如图，要拧开一个边长是2的正六边形螺母，扳手张开的开口a的取值为()A．23≤a＜4B．a＜4C.3≤a＜2D．a≥23解析：如图，正六边形ABCDEF的边长为2，连接AD，BD，由题意可得AD＝4，∠ABD＝90°，由勾股定理可得BD＝23，故扳手张开的开口a应大于或等于BD，且小于AD，即23≤a＜4.故选A.答案：A6．如图，∠APB＝30°，圆心在边PB上，⊙O的半径为1cm，OP＝3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为cm.解析：如图，设当⊙O与PA相切时，切点为H，则OH⊥PA.在Rt△POH中，∠APB＝30°，∴PO＝2OH＝2cm.因此，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为3－2＝1(cm)．答案：17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.(1)判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径.解：(1)AF是⊙O的切线．理由如下：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°.∵OF∥BC，∴∠AEO＝90°，∴OF⊥AC.∵OC＝OA，∴∠COF＝∠AOF，∴△OCF≌△OAF.∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴FA⊥OA.∴AF是⊙O的切线．(2)∵OF⊥AC，∴AE＝12AC.∵AC＝24，∴AE＝12.∵FA⊥OA，∴OF＝AF2＋OA2.∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AF·OA＝OF·AE，即15·OA＝152＋OA2·12，解得OA＝20.∴⊙O的半径为20.考点训练一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2014·哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是()A．30°B．25°C．20°D．15°解析：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.∵∠C＝40°，∴∠AOC＝50°，∴∠B＝25°.故选B.答案：B2．(2014·天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°.∵OA＝OB，∠B＝25°，∴∠OAB＝∠B＝25°.∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－25°－25°－90°＝40°.故选C.答案：C3．(2013·黔东南)Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝=3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为(B)A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm解析：作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，由勾股定理，可得AB＝5(cm)．再由面积法，求得CD＝2.4(cm)，即r的值为2.4cm.故选B.4．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：根据题意知，当∠OAP取最大值时，OP⊥AP，如图所示．在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴AO＝2OP，∴∠OAP＝30°.故选A.答案：A5．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为()A．40°B．50°C．65°D．75°解析：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∴∠O＝90°－∠BAO＝90°－40°＝50°.又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝12×(180°－50°)＝65°.故选C.答案：C6．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG＝2－1，则△ABC的周长为()A．4＋22B．6C．2＋22D．4解析：如图，连接OD，OE，∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，∴∠C＝∠OEB＝∠OEC＝∠ODC＝90°，∴四边形ODCE是矩形．又∵OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形，∴CD＝CE＝OE.∵∠A＝∠B＝45°，∴△OEB是等腰直角三角形．设OE＝r，则BE＝OG＝r，∴OB＝OG＋BG＝r＋2－1.∵OB＝2OE＝2r，∴r＋2－1＝2r，∴r＝1.∴AC＝BC＝2r＝2，AB＝2OB＝2×(1＋2－1)＝22.∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝4＋22.故选A.答案：A7．(2014·无锡)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°.如图，连接OD，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ODB＝∠DOB＝60°.∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥DC，∴∠BDC＝∠C＝30°，∴BD＝BC，∠C＝∠A，∴AD＝CD.∵在Rt△ADB中，∠A＝30°，∴BD＝12AB，即AB＝2BD，∴AB＝2BC.因此结论①②③都正确，故选A.答案：A8．(2014·益阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3,