THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月诊断性测试理科数学试卷

中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合12Axx=−,2,0,1,2B=−，则AB=A．B．0,1C．0,1,2D．2,0,1,2−2．若(2)5iz+=，则z的虚部为A．1−B．1C．i−D．i3．已知双曲线()222102xybb−=的两条渐近线互相垂直，则b=A．1B．2C．3D．24．由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．π3B．π2C．πD．2π5．函数xexxxf)2()(2−=的图象可能是ABCD6．已知关于x的不等式2230axxa−+在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是A．3,3−B．4,7−C．3,3+D．4,7+7．已知a,b为实数，则01ba是loglogabba的A．充分不必要条件B．必要不充分条件俯视图侧视图正视图1122（第4题图）C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知随机变量,的分布列如下表所示．则A．,EEDDB．,EEDDC．,EEDD=D．,EEDD==9．在ABC△中，若2ABBCBCCACAAB==，则ABBC=A．1B．22C．32D．6210．在矩形ABCD中，已知3,4ABAD==，E是边BC上的点，1EC=，//EFCD，将平面EFDC绕EF旋转90后记为平面，直线AB绕AE旋转一周，则旋转过程中直线AB与平面相交形成的点的轨迹是A．圆B．双曲线C．椭圆D．抛物线（第10题图）11．已知函数()(ln1)(2)(1,2)ifxxxmi=−−−=,e是自然对数的底数，存在RmA．当1=i时，()fx零点个数可能有3个B．当1=i时，()fx零点个数可能有4个C．当2=i时，()fx零点个数可能有3个D．当2=i时，()fx零点个数可能有4个12．已知数列{}na的前n项和为nS，且满足(2)1nnnaSa−=，则下列结论中①数列2{}nS是等差数列；②2nan；③11nnaa+A．仅有①②正确B．仅有①③正确C．仅有②③正确D．①②③均正确二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1+1”．1966年，我国数学家陈景润证明了123123161213P131216P“1+2”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是．14．已知ABC△的面积等于1，若1BC=，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA=．15．已知F是椭圆22221(0)xyCabab+=：的一个焦点，P是C上的任意一点，则FP称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为AB、，若存在以A为圆心，FP为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为．16．设函数32()|6|fxxxaxb=−++，若对任意的实数a和b，总存在3,00x，使得()mxf0，则实数m的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,3)P−．（1）求cos2+的值；（2）求函数22()sin()cos()()Rfxxxx=+−−的最小正周期与单调递增区间．18．（12分）如图，多面体ABCDFE中，四边形ABEF和四边形CDFE是两个全等的菱形，2=AB,60==ECDBAF．（1）求证：DCBD⊥；（2）如果二面角BEFD−−的平面角为60，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．（第18题图）19．（12分）已知等比数列}{na的公比1q，且42531=++aaa,93+a是1a,5a的等差中项．数列}{nb的通项公式1121−+−=+nnnnaab,*Nn．（1）求数列}{na的通项公式；（2）证明：12121−++++nnbbb,*Nn．20．（12分）已知抛物线2:2(0)Cxpyp=，焦点为F，准线与y轴交于点E．若点P在C上，横坐标为2，且满足：PFPE2=．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线PE交x轴于点Q，过点Q做直线l，与抛物线C有两个交点,MN(其中，点M在第一象限)．若QMMN=，当()2,1时，求OMPONPSS△△的取值范围．（第20题图）21．（12分）已知函数()(1)(1)xfxxe=+−．（1）求()fx在点1,(1))f−（-处的切线方程；（2）若方程()fxb=有两个实数根21,xx，且21xx，证明：1131112−+−+++−eebeebxx．（二）选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4—4：极坐标与参数方程]（10分）（1）以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴x为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位，把极坐标方程2cossin2=+化成直角坐标方程．（2）在直角坐标系xOy中，直线l：32cos4()31sin4xttyt=−+=−+为参数，曲线2cos:(),sinxCya==为参数其中0a．若曲线C上所有点均在直线l的右上方，求a的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知正数zyx,,满足1xyz++=．（1）求证：51323232222+++++yxzxzyzyx；（2）求2161616zyx++的最小值．