工业产品材料力学设计--第2章-拉压有限元法

2020/4/51工业产品材料力学设计机械设计制造及其自动化专业二年级第2学期主讲教师：王一军2019.3TEL:687648EMAIL:WANGYJ67SINA.COM2020/4/522.4拉压问题的有限单元法第2章轴向拉伸和压缩力学是数学的乐园，因为我们在这里获得了数学的果实。-LeonardodeVinci2020/4/53第2章轴向拉伸和压缩2.4.1有限元法概述2.4拉压问题的有限单元法FiniteElementMethod有限元法就是将复杂的几何或受力对象划分为数量有限、形状简单、具有共同特征的子域，这些子域叫单元。其核心思想是离散化，即将实际可变形体假想地离散为单元，然后采用能量原理进行单元分析，最后进行单元组装，完成复杂几何或受力对象的位移、应变和应力分析。element(单元)node(节点)2020/4/54第2章轴向拉伸和压缩2.4.1有限元法概述2.4拉压问题的有限单元法常用的一些典型单元一维杆单元。可采用材料力学理论进行分析二维板壳或三维体单元。以结构力学和弹性力学为理论基础。2020/4/55第2章轴向拉伸和压缩2.4.1有限元法概述2.4拉压问题的有限单元法因此，在研究拉压杆问题时引入有限元的概念和方法，是学习有限元最好和最容易的方式，并将为以后对复杂的几何或受力对象开展有限元分析奠定坚实的理论基础。由于：（1）杆单元是最简单的有限元分析单元；（2）拉压问题是最简单的变形体分析问题；2020/4/562.4.2拉压杆的有限元分析(1)单元划分与节点编号●单元划分：根据“三同原则”→标准杆单元①②③●节点编号：每单元两端有1个节点→节点号1,2,3,4●单元隔离：假设节点力和节点位移→,...,)1(22)1(11PuPu1F2F)3(442)3(3)2(33)2(2)1(221)1(11,,0,PPFPPPPPPFPP各节点力为：2020/4/572.4.2拉压杆的有限元分析(2)杆单元分析(2-1)单元几何与节点描述基本变量：节点位移21,uuTuuq][:21)1(节点位移列阵TPPP][:)1(2)1(1)1(节点力列阵(2-2)单元位移场分析在有限元分析中，要求必须事先给出或设定位移函数。位移函数的设定方法有2种：直接法和试函数法(Trialfunction)。位移场：即位移函数u(x)，它描述了单元各截面位移与其位置之间的关系。11l2x11AEx)(xu直接法：就是解析法。dxdu(x))(xExx)(/)(AxFxN)()()1()(qxu)1()(qx)1()(qx)1()1(qP自主推导)(,)(,0211uxulxuxux时时代入边界条件2020/4/58试函数法(Trialfunction)就是在分析前假设一个位移函数，该函数称为“试函数”。对于如图所示的线弹性杆单元，根据解析法，我们知道其位移函数是1个线性函数，因此，我们假设的“试函数”为:11l2x11AEx)(xu)(11xbaxu其中，a1,b1为待定系数，可根据边界条件求出。)(,)(,0211uxulxuxux时时代入边界条件112111bluuua21111121)1()(ulxulxxluuuxu)1(2111)()1()(qxNuulxlxxu11)1()(lxlxxNN(x)称为形状函数矩阵显然这是一个真实的位移函数2020/4/59(2-3)单元应变场分析11l2x11AEx)(xu112)()(luudxxdux)1(2111)(11)(qxBuullx，称为几何矩阵其中1111)(llxBxluuuxu1121)(2020/4/510(2-4)单元应力场分析11l2x11AEx)(xu11211)()(luuExEx)1(211111)()(qxSuulElEx，称为应力矩阵其中1111)(lElExS112)()(luudxxdux2020/4/511(2-5)单元变形能计算11l2x11AEx)(xudxEAxFUUNl2)(*2012111121102)(2))((1lxAEdxAEAxEUl112)()(luudxxdux212111)(2uulAEU2020/4/512(2-5)单元刚度方程11l2x11AEx)(xu)1()1(21111)1(2)1(1)1(1111qKuulAEPPP，称为单元刚度矩阵其中1111111)1(lAEK212111)(2uulAEU变形能法：卡氏第一定理iiUF)(121111)1(1uulAEuUP)(121112)1(2uulAEuUP2020/4/513(2-5)单元刚度方程11l2x11AEx)(xu)1()1()1(qKP虚功法：intWWext虚功原理2)1(21)1(1uPuPWext2121110112int)(22)(11uulAEdxAExFdFWlNlNx2121112)1(21)1(1)(2uulAEuPuP)(12111)1(1uulAEP)(12111)1(2uulAEP两边分别对u1和u2求偏导数2020/4/514(3)计算各单元的单元刚度方程21111111111111)1(2)1(1uulAElAElAElAEPP32111222222222)2(3)2(2uulAElAElAElAEPP43333333333333)3(4)3(3uulAElAElAElAEPP)1()1()1(qKP2020/4/515(4)组装各单元刚度方程21111111111111)1(2)1(1uulAElAElAElAEPP32111222222222)2(3)2(2uulAElAElAElAEPP43333333333333)3(4)3(3uulAElAElAElAEPP2020/4/516即2020/4/517若已知1F2FNFNF50,10021NFPPNFP500100232112020/4/5181F2FNFPPNFP50010023211(5)处理边界条件04u2020/4/5191F2F(6)求支座反力2020/4/520(7)求应变与应力04u2020/4/521经过试验：你得到如图所示的位移曲线。你发现：无法用1个函数表达式来描述该位移曲线。（1）关于试函数的讨论)(xux0l2u1u假设你是一名企业的工程师，采用一种新型材料设计了如图所示的杆件。你的问题是：如果将该杆件作为一个杆单元处理，如何构造1个位移函数？如何分析其应变、应力？如何进一步构造单元刚度方程？xo)(xu1u2u2.4.3有限元法的相关讨论2020/4/522思路：无法得到真实的位移函数→构造1个来近似数学“逼近”思想：一个复杂的函数，可以通过一系列基底函数的组合来“近似”，称为函数逼近。近似方法一：全域逼近基底函数逼近函数xlnansin...2sinsin)(21xlaxlaxunnxa...)(2210xaxaaxu)(,)(,021uxulxuxux时时代入边界条件),()(21uufxu,...,10aa求出待定系数瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法)(xux0l2u1u),(21uuf)(xu的逼近基于全域],0[l2020/4/523近似方法二：分段逼近有限元法o1u2u个单元第i)(xux0l2u1u1ixix]),[(1iiiixxxxba的分段逼近基于子域],[1iixx1x])},0[({100xxxba...])},[({2111xxxxbaniiiiixxxxba01])},[({)(xu上。定义在子域为采用的基底函数，其中，],[1iiiixxxba☆将杆件分成n段（即划分为n个单元）☆将每段简化为线性单元，用线性函数定义。xbaii※显然，各单元也可以用其他试函数来定义，如...2210xaxaa2020/4/524显然，无论全域还是分段，得到的逼近函数就是1个试函数。其中，分段逼近的优势非常明显，它可“化繁为简”：可以把复杂形状简化为简单形状；可以把复杂函数问题简化为简单函数问题；可以把求解微分方程问题简化为简单的线性方程求解问题；如果单元划分得足够小时，其分析结果将相当精确。这就为我们分析复杂形状的物体和复杂结构提供了一个“化繁为简”的思路和方法。)(xux0l2u1u),(21uuf)(xu的逼近基于全域],0[l)(xux0l2u1u1ixix]),[(1iiiixxxxba的分段逼近基于子域],[1iixx1x...2sinsin)(21xlaxlaxuniiiiixxxxbaxu01])},[({)(2020/4/525在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。尽管离散系统是可解的（如图：由6个“杆单元”组成的平面桁架结构），但是求解复杂离散系统，要依靠计算机技术。2020/4/526第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。尽管我们已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。为了解决这个困难，工程师和数学家们提出了许多近似方法。2020/4/527在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果(见发展简史)，即有限元法。另外，鉴于：产品设计的极端重要性（据统计，产品质量事故，约有50%是设计不当造成的；产品的成本60%-70%取决于设计）；设计时并不了解产品的真实力学信息，其原因在于：或者没有试验结果（如无法确定材料、尺寸等，故无法开展试验），或者根本无法得到精确的解析解。因此，在这种情况下，就可以采用基于试函数的有限元分析方法对设计的产品进行近似的、满足工程精度的力学分析，以获得相关的、尽可能接近真实的力学信息（位移、应变与应力），以便在设计阶段对可能出现的各种问题进行安全评判和参数修改（即在设计阶段就尽可能地解决一些事故问题和成本问题等）。2020/4/528对于离散系统，有限元法首先将其离散为1维杆单元，然后基于试函数对杆单元采用能量原理进行描述（即描述其位移、应变、应力和刚度方程），最后进行单元组装，并处理边界条件，完成离散系统的位移、应变和应力分析。单元刚度方程具有通用性和标准型，适用于计算机求解2020/4/529对于连续系统，有限元法将其分为两类问题。一类是2维板壳类问题，一类是3维块体类问题。对于2维板壳类问题，有限元法：首先，将板壳离散为简单的平面单元（如三角形或矩形单元）；然后，构造试函数，描述平面单元的力学信息；最后，单元组装，并处理边界条件，完成板壳类问题的分析。平面矩形单元平面三角形单元基本变量基本变量位移函数(试函数-假设为线性)位