3.微专题：平面直角坐标系中的规律变化

微专题：平面直角坐标系中的规律变化◆类型一平面直角坐标系中点的运动规律1．(2017·石家庄长安区期中)如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是()A．(2016，0)B．(2017，1)C．(2017，－1)D．(2018，0)2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．3．如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)．把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在的位置的点的坐标是__________．第3题图第4题图第5题图4．如图，在直角坐标系中，设一动点M自P0(1，0)处向上运动1个单位至P1(1，1)处，然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处……如此继续运动下去，设Pn(xn，yn)(n＝1，2，3，…)，则x1＋x2＋…＋x99＋x100＝________．5．(2017·石家庄模拟)一个质点P在第一象限及坐标轴上运动，在第1秒钟，从原点运动到(0，1)，然后按箭头的方向运动[即：(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，每秒移动一个单位，则点P运动到(7，7)位置时共运动了________秒．◆类型二根据图形的旋转变化探究点的坐标变化规律6．如图，在平面直角坐标系中A(0，0)，B(1，0)，P(0，1)，四边形ABQP是正方形，把正方形ABQP绕点B顺时针旋转180°，得到正方形CBQ1P1；把正方形CBQ1P1绕点C顺时针旋转180°，得到正方形CDQ2P2……依此类推，则旋转第2016次后，得到的正方形的顶点P2016的坐标为()A．(2016，1)B．(2015，1)C．(2016，－1)D．(4032，1)第6题图第7题图7．如图，等边三角形OA1B1的边长为1，且OB1在x轴上，第一次将△OA1B1边长变为原来的两倍后，将所得到的图形绕O逆时针旋转60°得到△OA2B2；第二次将△OA2B2边长变为原来的两倍后，将所得到的图形绕O逆时针旋转60°得到△OA3B3……依此类推，则点A2016的坐标为__________．参考答案与解析1．B解析：因为半圆周的周长是π，根据P点的速度知，1秒时点P的坐标为(1，1)；2秒时点P的坐标为(2，0)；3秒时点P的坐标为(3，－1)；4秒时点P的坐标为(4，0)；5秒时点P的坐标为(5，1)……即当秒数为偶数时，点P落在x轴上，其横坐标和秒数相同，纵坐标是0；点P落在第一象限的秒数是1，5，9，13，…，4n－3；点P落在第四象限的秒数是3，7，11，15，…，4n－1.因为2017＝4×505－3.故第2017秒时，点P落在第一象限，其坐标为P(2017，1)．故选B.2．(2016，0)解析：观察可知，各点的横坐标恰好是运动的次数，所以第2016次运动后点P的横坐标是2016，纵坐标依次按1，0，2，0，1，0，2，0的规律变化，即每经过4次变化完成一个循环．因为2016÷4＝504，所以第2016次运动时点的纵坐标与第4次运动时的纵坐标相等，所以动点P的坐标为(2016，0)．3．(0，－2)解析：∵A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，∴AB＝1－(－1)＝2，BC＝1－(－2)＝3，CD＝1－(－1)＝2，DA＝1－(－2)＝3，∴绕四边形ABCD一周所需的细线长度为2＋3＋2＋3＝10.∵2016÷10＝201……6，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第6个单位长度的位置，即CD与y轴的交点，∴坐标为(0，－2)．4．50解析：经过观察分析可得每4个点的横坐标的和为一个定值，把100个数分为25组，∵x1＋x2＋x3＋x4＝1－1－1＋3＝2；x5＋x6＋x7＋x8＝3－3－3＋5＝2……x97＋x98＋x99＋x100＝2.∴原式＝2×(100÷4)＝50.5．56解析：因为质点每秒运动一个单位，所以质点从(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推，点P运动到(7，7)位置时共运动了2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56(秒)．6．A解析：根据题意可得P1(2，－1)，P2(2，1)，P3(4，－1)，P4(4，1)，…，P2n－1(2n，－1)，P2n(2n，1)，∴旋转第2016次后，得到的正方形的顶点P2016的坐标为(2016，1)．7．(22015，0)解析：由题意得A112，32，A2(－1，3)，A3(－4，0)，A4(－4，－43)，A5(8，－83)，A6(32，0)，A7(32，323)，A8(－64，643)，A9(－256，0)，…，A12(211，0)，由此发现序号能被6整除的点在x轴的正半轴上．∵2016÷6＝336，∴点A2016在x轴上．∵A6(25，0)，A12(211，0)，…，∴点A2016的坐标为(22015，0)．