广州大学材料力学电子教案chapt8应力和应变分析

第九章应力与应变分析第一节应力状态的概念第二节平面应力状态下的应力研究、应力圆第三节三向应力状态下的最大应力第四节广义虎克定律第五节三向应力状态下的变形比能一、一点的应力状态1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。第一节应力状态的概念二、研究应力状态的方法—单元体法1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。应力与应变分析xOzydzdxdyXYZOsysyszsztzytyztyztzytyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz应力与应变分析（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。（2）面的方位用其法线方向表示yxxyxzzxzyyztttttt，，3.截取原始单元体的方法、原则①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体②单元体各个面上的应力已知或可求；③几种受力情况下截取单元体方法：2.单元体上的应力分量应力与应变分析PMeMePPMeMec)同b)，但从上表面截取Ctssb)横截面，周向面，直径面各一对Ba)一对横截面，两对纵截面AsP/AstMe/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA三、应力状态分类(按主应力)1.①主平面：单元体上剪应力为零的面；②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。应力与应变分析旋转y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy2.应力状态按主应力分类：①只有一个主应力不为零称单向应力状态；②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；④单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。应力与应变分析一、平面应力分析的解析法1.平面应力状态图示：第二节平面应力状态下的应力研究、应力圆sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx应力与应变分析2.任意a角斜截面上的应力sxtxysysysxtyxxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsx：0tdAataatcos)cos(dAxyaatsin)sin(dAyxaascos)sin(dAyaassin)cos(dAx0：0ndAasaatsin)cos(dAxyaatcos)sin(dAyxaassin)sin(dAyaascos)cos(dAx0sytxytyx得atasstatasssssaa2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx应力与应变分析符号规定：a角—以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负s拉为正，压为负t—使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负3.主应力及其方位：①由主平面定义，令t=0，得：yxxyssta22tan0可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。②令0asaddyxxyssta22tan0得：即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。应力与应变分析③主应力大小：)'(22'22sstssssssxyyxyx④由s'、s、0按代数值大小排序得出：s1≥s2≥s3⑤判断s'、s作用方位(与两个a0如何对应)txy箭头指向第几象限(一、四)，则s'(较大主应力)在第几象限，即先判断s'大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。⑥o90yx'aasssssstxys'sa0*txyss'a0*应力与应变分析4.极值切应力：①令：，可求出两个相差90o的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。0ataddxyyx122tgtssa②极值切应力：22'2xy2yxsstsstt102tg12tgaa③(极值切应力平面与主平面成45o)应力与应变分析tsaaMPa3.2060cos)20(60sin24030MPa8.2960sin)20(60cos2403024030)1oooo解：403020单位：MPaasata，主单元体如上，，o00321229.144030202tgMPa3.45''0MPa3.35'MPa3.45MPa3.35202403024030''')2aasssssssMPa3.402'''''')3sstt)(C')4o90应力之和为常数元体任意垂直平面上正同一单讨论并证明：ssssaa40203014.9oss'ss'例一图示单元体，试求：①a=30o斜截面上的应力；②主应力并画出主单元体；③极值切应力。tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圆轴扭转时的应力状态o00224502tg2020''')2atattss主单元体如右，，tssstss''0')33214)圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成±45o斜截面上，它们数值相等，均等于横截面上的剪应力；5)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；6)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45o的螺旋面发生拉断。neW/MABCD)1t：单元体围绕圆轴外表面一点取解：例92分析圆轴扭转时的应力状态。二、平面应力分析的图解法—应力圆1.理论依据：①atasstatasssss2cos2sin22sin2cos22xyyx'y'xxyyxyx'x22xy2yx2'y'x2yx'x22tsstsss②以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx‘、tx’y‘为：以)为半径的圆。2xy2yxyx]2/)[(]0,2/)[(tssss为圆心，以2.应力圆的绘制：①定坐标及比例尺；②取x面，定出D()点；取y面，定出D‘()点；xyx,tsyxy,ts③连DD'交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s2asa,taEG1t'G2tD'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata3.应力圆的应用①点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；②角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;③旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；④求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。⑤用应力圆确定主平面、主应力：由主平面上剪应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表s‘所在主平面，其转过角度为2，转至s轴负向B1点代表s所在主平面；*0a⑥确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t’，纵轴坐标最小的G2点为t，作用面确定方法同主应力。求：1)a=30o斜截面上的应力；2)主应力及其方位；3)极值剪应力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)MPa3.20MPa8.29oo3030ts，35.3-45.3MPa3.450MPa3.35321sss，，29.8ooo*019.142/8.29xas轴夹角：与403020单位：MPaxasata40.3-40.3MPa3.40'tt例93用应力圆法重解例91题。1.三向应力状态应力圆：①平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定；②平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定；③平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定；④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。一、三向应力状态下的应力圆2.三向应力状态下的最大剪应力23113maxsstttmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。二、例题第三节三向应力状态下的最大应力s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2例94试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。x300150y140z90解：①给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=150MPa，因此：MPa50390170220)150()2140300(214030022minmaxss③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPaxzyxzy90300150140Asy=140txy=150sx=300A视s2y'31o31os1x's3④主应力方位：o0o0o0yxxy0121231622815140300150222tgaaassta最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或14o。MPa170250390231maxsst⑤单元体内的最大剪应力：一、广义虎克定律1.有关概念：①主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1≥e2≥e3表示；②正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；2.广义虎克定律：①推导方法：叠加原理②主应变与主应力关系：ssseeeessseeeessseeee)]([E1)]([E1)]([E1213'''33'33132'''22'22321'''11'11③一般情况：tttsssesssessseG/G/G/)]([E1)]([E1)]([E1zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx，，第四节广义虎克定律s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的应变：s2方向上的应变：s3方向上的应变：E'E'E'1312111sesesesEEE2322212sesesesE'E'E'3332313sesesesIIIs3ssseeeessseeeessseeee)]([E1'')]([E1'')]([E1''213333313222223211111④用应变表示应力：ttteeeeseeeeseeeeszxzxyzyzxyxyzzyxzyzyxyxzyxxGGG1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E1E)()21)(1(E，，上式中：)1(2EG二、例题例95在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，=0.30。PpPP/AppppMPa153MPa43.8p321sss，④柱内各点的三个主应力为：求得：MPa43.83.011020002.03.0153p50002.0E153EpEpEEE1122ssse③由广义虎克定律：0002.055001.52e