第四章-特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数

第四章特殊函数(上)——勒让德多项式球函数本章主要内容：勒让德多项式的来源、定义、性质、生成与递推公式，球谐函数。222dd2(1)0ddRRrrllRrr（4.1.1）在球坐标系下对拉普拉斯方程分离变量径向部分得到欧拉型常微分方程和球谐函数方程22211sin(1)0sinsinYYllY（4.1.2）(4.1.2)式的解(,)Y与半径r无关，称为球谐函数，或简称为球函数．球谐函数方程进一步分离变量，令(,)()()Y得到关于的常微分方程221ddsin(1)0sinddsinmll（4.1.3）称为l阶连带勒让德方程或缔合勒让德方程.令cosx和()()yxx把自变数从换为x，则方程（4.1.3）可以化为下列l阶连带勒让德方程形式的l22222dd(1)2(1)0dd1yymxxllyxxx（4.1.4）若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则0m，即有1dsin(1)0sinddlld（4.1.5）称为l阶勒让德(legendre)方程．同样若记arccosx，()()yxx则上述方程也可写为下列形式的l阶勒让德方程2dd[(1)](1)0ddyxllyxx(4.1.6)4.1.2勒让德多项式的表示1.勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解()lPx为[]220(22)!P()(1)2!()!(2)!lklkllklkxxklklk（4.1.7）上式中[l/2]表示不大于l/2的最大整数,22[](0,1,2,)12,212llnlnlln上式具有多项式的形式，故称为阶勒让德多项式．l勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．()lPx式（4.1.7）即为勒让德多项式的级数表示．注意到cosx,故可方便地得出前几个勒让德多项式:0P()1x1P()cosxx2211P()(31)(3cos21)24xx3311P()(53)(5cos33cos)28xxx42411P()(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P()(637015)(63cos535cos330cos)8128xxxx642611P()(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)得到图4.1计算P(0)l，这应当等于多项式P()lx的常数项．如l为21n（即为奇数）时，21P()nx则只含奇数次幂，不含常数项，所以21P(0)0n（4.1.8）2ln（即为偶数）时，则2P()nx含有常数项，即（4.1.7）中2kln的那一项，所以22(2)!(21)!!P(0)(1)(1)2!!(2)!!nnnnnnnnn（4.1.9）式中记号(2)!!(2)(22)(24)642nnnn而(21)!!(21)(23)(25)531nnnn因此，(2)!(2)!!(21)!!nnn．2、勒让德多项式的微分表示21dP()(1)2!dlllllxxlx（4.1.10）上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．下面证明表达式(4.1.10)和（4.1.7）是相同的．【证明】用二项式定理把lx)1(2展开lkkllklkkkllllxklkxkklllxl022022)!(!21)1()1()(!)!(!!21)1(!21把上式对x求导l次．凡是幂次(22)lkl的项在l次求导过程中成为零，所以只需保留幂次(22)lkl的项，即2lk的项，应取max[]2lk，并且注意到222d(22)(221)[22(1)]dllklklxlklklklxx因此有22[]220[]201d(22)(221)(21)(1)(1)2!d2!()!(22)!(1)P().2!()!(2)!llllklklllkklkllklklklkxxlxklklkxxklklk3.勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有()1!()()d2πi()llClffzz容易证明微分表示（4.1.10）也可表示为环路积分形式2111(1)P()d2πi2()llllCxx（4.1.11）C为z平面上围绕xz并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．点的任一闭合回路，式（4.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．π201P()(i1cos)dπllxxx(4.1.12)【证明】取C为圆周，圆心在zx，半径为12x在上有：2i1xxe2idi1di()dxexC并注意到22i22i22i2i221(1)1(1)(1)2121(1cos)2()(1cos)xxexexxexexxxxx代入（4.1.11）得到2π20π201P()(1cos)d2π1(i1cos)dπlllxxxxx这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示．从该积分还很容易看出P(1)1lP(1)(1)ll（4.1.13）(4.1.12)利用拉普拉斯积分表示（4.1.12），还可以证明P()1lx，)11(x（4.1.14）【证明】x回到原来的变量，cosx，则如从π01P(cos)cosisincosdπllπ0π/22220ππ/222001P(cos)cosisincosdπ1cossincosdπ11cossindd1ππllll4.2勒让德多项式的性质4.2.1勒让德多项式的性质1.勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）P()nx的n个零点都是实的，且在)1,1(内；（ii）P()nx的零点与1P()nx的零点互相分离．2.奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换(),xx容易得到P()(1)P()lllxx（4.2.1）即当l为偶数时，勒让德多项式P()lx为偶函数，为奇数时为奇函数lP()lx3.勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间[1,1]上满足12,1P()P()dnllnlxxxN(4.2.2)其中,1()0()nlnlnl当nl时满足11P()P()0nlxxdx，(4.2.3)称为正交性．相等时可求出其模1212P()(0,1,2,)21llNxdxll(4.2.4)下面给出公式（4.2.2），及其模(4.2.4)的证明【证明】（1）正交性勒让德多项式必然满足勒让德方程(4.1.6)，故有22d[(1)P()](1)P()0dd[(1)P()](1)P()0dllnnxxllxxxxnnxx两式相减，并在[-1,1]区间上对x积分，得122111dd{P()[(1)P()]P()[(1)P()]}ddd[(1)(1)]P()P()dnllnlnxxxxxxxxxnnllxxx因为上面等式左边的积分值为211(1)[P()P()P()P()]|0nllnxxxxx所以当nl时，必然有11P()P()d0lnxxx成立．（2）模（利用分部积分法证明）1221[P()]dllNxx为了分部积分的方便，把上式的)(xPl用微分表示给出，则有21212221112121221221221111d(1)dd(1)d2(!)ddd1d(1)d(1)1d(1)dd(1)d2(!)dd2(!)dddllllllllllllllllllllllxxNxlxxxxxxxxlxxlxxx注意到lllxxx)1()1()1(2以1x为l级零点，故其(1)l阶导数121d(1)dlllxx必然以1x为一级零点，从而上式已积出部分的值为零112121222111(1)d(1)d(1)d2(!)ddllllllllxxNxlxx再进行l次分部积分，即得221222221(1)d(1)(1)d2(!)dlllllllxNxxlxlx)1(2是l2次多项式，其l2阶导数也就是最高幂项lx2的l2阶导数为)!2(l．故12221(2)!(1)(1)(1)d2(!)llllllNxxxl再对上式分部积分一次112+1112211111221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d2(!)1llllllllllllNxxlxxxllllxxxll容易看出已积出部分以1x为零点．至此，分部积分的结果是使)1(x的幂次降低一次，)1(x的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．继续分部积分（计l次），即得120222112121(2)!11(1)(1)(1)(1)d2(!)122112(1)22121llllllllllNxxxllllxll故勒让德多项式的模为122lNl),2,1,0(l且有112P()P()d21llxxxl4.广义傅里叶级数定理4.2.1在区间[-1,1]上的任一连续函数,()fx可展开为勒让德多项式的级数:0()P()nnnfxCx（4.2.5）其中系数:1121()P()d2nnnCfxxx(4.2.6)在实际应用中,经常要作代换cosx,此时勒让德方程的解为P(cos)n，这时有0(cos)P(cos)nnnfC(4.2.7)其中系数为(注意积分上、下限)π021(cos)P(cos)sind2nnnCf（4.2.8）4.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）例4.2.1将函数3()fxx按勒让德多项式形式展开.【解】根据（4.2.5）设300112233P()P()P()P()xCxCxCxCx考虑到P()(1)P()nnnxx，由(4.2.6)显然有020CC11331111333P()dd225Cxxxxxx1133333117712P()d(5-3)d2225Cxxxxxxx所以31332P()P()55xxx例4.2.2将函数cos2(0π)展开为勒让德多项式P(cos)n形式【解】用直接展开法令cosx，则由22cos22cos121x我们知道：20121P()1,P(),P()(31)2xxxxx可设200112221P()P()P()xCxCxCx考虑到勒让德函数的奇偶性，显然10C2202121(31)2xCCx由20,xx项的系数，显然得出2041,33CC故有02021414cos(2)P()P()P(cos)P(cos)3333xx下面我们给出一般性结论：结论1：设k为正整数，可以证明：222222200212121232311P()P()P()P()P()P()kkkkkkkkkkxCxCxCxxCxCxCx结