机械制造

5.5.1分布曲线法1．直方图（1）直方图的绘制方法测量加工后n个工件的实际尺寸X，按实际尺寸以组距△X分为j个组，各组内的工件数目mi称为频数，频数和工件总数的比值mi/n称为频率。以尺寸为横坐标，频数（或频率）为纵坐标，即可绘制出尺寸分布的直方图。如磨削100个工件，，△X=0.002mm，工件尺寸的频数分布表如表5-8所示。5.5加工误差统计分析0.0380X表5-8频数分布表组号j尺寸范围（mm）123456789101179.988～79.99079.990～79.99279.992～79.99479.994～79.99679.996～79.99879.998～80.00080.000～80.00280.002～80.00480.004～80.00680.006～80.00880.008～80.010││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││││36914161612106530.030.060.090.140.160.160.120.100.060.050.03频数分布5101520总计1001.00频数im频率/imn5.5加工误差统计分析5.5加工误差统计分析图5-20尺寸分布直方图（2）直方图的参数1）极差。一批工件的尺寸，有一定的分布范围，其极差为全批工件中最大尺寸与最小尺寸之差，用R表示。2）工件尺寸平均值。一批工件尺寸的平均值，可用每组内工件的频数和组距中值的尺寸来进行计算。3）均方根差σ。5.5加工误差统计分析maxmin80.01079.9880.022RXX112211jjjiiiXmXmXmXXmnn2222112211jjjiiiXXmXXmXXmXXmnn（3）特点从尺寸分布的直方图可以看出，尺寸分布的形状基本上是左右对称的“钟形”，中间多，两边少。大部分工件尺寸聚集在平均尺寸附近。另外，尺寸的极差小于公差δ，即δ/R=0.03/0.022=1.361这说明本工序的加工精度能保证公差的要求。但由于尺寸的分散中心（平均尺寸）和公差带中心偏离了0.0135mm，所以出现了部分废品（图中阴影部分）。只要在调整时将尺寸调小0.0135mm，就能使分布图在横坐标上平移一个距离，使整批工件的尺寸全部落在公差带范围内。5.5加工误差统计分析2．正态分布曲线根据概率论理论可知，相互独立的大量微小的随机变量总和的分布，总是接近正态分布的。实践证明，用自动获得尺寸法在机床上加工一批工件时，在无某种优势因素的影响下，加工后尺寸的分布是符合正态分布的。（1）概率密度函数概率分布密度函数为：式中的μ和σ分别是正态分布的算术平均值和均方根差。5.5加工误差统计分析22/212,0xfxex图5-21正态分布曲线当采用理论分布曲线代替实际加工尺寸的分布曲线时，密度函数的各参数可分别取成：X——工件尺寸；μ——工件的平均尺寸，；σ——均方根差，；n——工件总数。5.5加工误差统计分析11jiiiXXmn211jiiiXXmn正态分布曲线下方所包含的面积为：为了使实际分布曲线能与理论分布曲线进行比较，在绘制实际分布曲线时，纵坐标不用频数而用分布密度分布密度=频数/（工件总数×组距）=频率/组距在采用分布密度后，直方图中每一矩形面积就等于该组距内的频率，所有矩形面积的和将等于1。如果改变μ值，分布曲线将沿横坐标移动而不改变曲线的形状，所以μ是表征曲线位置的（见图5-22）。又因为f(μ)与σ成反比，所以σ越小，则f(μ)越大，曲线的形状越陡；σ越大，则曲线形状愈平坦。由此可见，参数σ是表征曲线本身形状的，亦即表征尺寸分布特性的，见图5-23。5.5加工误差统计分析22/2112xAfxdXedX5.5加工误差统计分析图5-22σ不变时μ使分布曲线移动5.5加工误差统计分析图5-23σ影响分布曲线的形状（2）标准正态分布曲线算术平均值μ=0，均方根差σ=1的正态分布曲线称为标准正态分布曲线。任何不同的μ和σ的正态分布都可以通过坐标变换Z=(X-μ)/σ变为标准正态分布。因此可用标准正态分布的函数值来求各种正态分布的函数值。当横坐标用Z替代以后，新坐标下的概率分布密度函数为：如果要求从—Z到Z区间的频率，即为此区间内正态分布曲线与横坐标之间的面积：各种不同Z值的F（z）值，可由表5-9查出。5.5加工误差统计分析2/212ZfZe2/212ZZzZZFzfzdZedZ5.5加工误差统计分析0.000.050.100.200.300.400.500.600.700.800.901.000.00000.03980.07960.15860.23580.31080.38300.45140.51600.57620.63180.68261.101.201.301.401.501.601.701.801.902.002.102.200.72860.76980.80640.83840.86640.89040.91080.92820.94260.95440.96420.97222.302.402.502.602.702.802.903.003.103.203.303.400.97860.98360.98760.99060.99300.99400.99630.99730.99810.99860.99900.9993ZZZF(Z)F(Z)F(Z)表5-9F（z）数值表（3）正态分布曲线的特点1）正态分布曲线为钟形，曲线以X轴为渐近线，以X=μ这一直线为对称轴，并在X=μ处达到极大值；2）曲线与x轴围成的面积为1，即概率为100%，且工件尺寸大于和小于μ的概率相等，某尺寸段内曲线下的面积即为工件实际尺寸落在此尺寸段内的概率。5.5加工误差统计分析3）X—μ=±3σ时，曲线与x围成的面积为0.9973，也就是说99.73%的工件尺寸落在±3σ范围内，仅有0.27％的工件落在了±3σ之外。因此常取正态分布曲线的实际分散范围为±3σ，工艺上称该原则为“6σ”原则。这是一个十分重要的概念，6σ的数值表示某工序处于稳定状态时，加工误差正常波动的幅度。一般情况下，应使工件的尺寸公差δ与6σ之间保持下列关系δ≥6σ但是，考虑到变值系统误差的影响，总是使工件的尺寸公差δ大于6σ。4）曲线分散中心μ改变时，分布曲线将沿横坐标移动，但不改变曲线的形状。这是规律性常值系统误差的影响结果。5）参数σ决定正态分布曲线的形状。5.5加工误差统计分析（4）正态分布曲线的应用1）判断加工误差的性质。如果实际分布曲线服从正态分布，则说明加工过程中无显著的规律性变值误差参与；如果公差带中心与尺寸分布中心重合，则说明无规律性常值系统误差；如果二者不重合，则两中心之间的距离即为规律性常值误差；如果实际的尺寸分布不服从正态分布，则一定有显著的规律性变值误差。2）判断工序能力。工序能力是指工序在一定时间内处于稳定状态下的实际加工能力。由于工序处于稳定状态时，加工误差正常波动的范围为6σ，因此工序能力可用下式判断：Cp=δ/6σCp称为工序能力系数，它表示工序能力满足加工精度要求的程度。各种工序的工序能力划分如表5-10所示。5.5加工误差统计分析5.5加工误差统计分析表5-10工序能力等级表工序能力系数工艺等级工序能力判断p1.67CP1.331.67Cp1.001.33Cp0.671.00Cp0.67C特级一级二级三级四级工序能力很充分工序能力足够工序能力勉强工序能力不足工序能力极差5.5加工误差统计分析例5-12．采用某种加工方法加工一批工件的外圆，若加工尺寸按正态分布，图纸要求尺寸为φ（20±0.007）mm，加工后发现有40％的工件为合格品，且其中一半不合格品的尺寸小于零件的下偏差，试确定该加工方法所能达到的加工精度。解：（由合格品率为20％求得）x1－x2=0.51σ=δ=0.014σ=0.014/0.51=0.027工序能力系数Cp=δ/6σ=0.086该加工方法所能达到的加工精度为6σ（0.162），介于IT11（在18-30mm范围内公差为130微米）和IT12（在18-30mm范围内公差为210为微米）之间。12120.255xxxxzz5.5加工误差统计分析3）计算产品的合格率与废品率。例5-13一批工件加工后的尺寸分布符合正态分布，参数μ=0，σ=0.005mm，公差δ=0.02mm，公差带中值位于μ=0处，求废品率。解：因为公差为0.02，所以允许的分布范围±0.01。Z=0.01/0.005=2查表得知f(z)=0.9544所以废品率P=1－0.9544=0.0456=4.56%。5.5加工误差统计分析例5-14车削一批轴的外圆，工序尺寸要求。根据测量结果，尺寸的分布符合正态分布规律，均方根偏差σ=0.025mm，但曲线顶峰位置对公差带中间位置向右偏移0.03mm，试画出正态分布曲线，并计算废品率。解：Z1=(δ/2+0.03)/σ=（0.1/2+0.03）/0.025=3.2Z2=(δ/2-0.03)/σ=（0.1/2-0.03）/0.025=0.8合格率=1/2(f(Z1)+f(Z2))=1/2(0.9986+0.5762)=78.74%.废品率=1-0.7884=0.2126=21.26%。00.120xyZ1Z2δ公差带中心0.03AB5.5加工误差统计分析例5-15在磨床上加工销轴，要求外径，抽样后测得尺寸均值为11.974mm，σ=0.005mm，其尺寸分布符合正态分布，试分析工序的加工质量。解：该工序的尺寸分布如图所示由于Cp=δ/6σ=0.027/(6×0.005）=0.9＜1，说明工序能力不足，产生废品不可避免。工件最小尺寸=11.974－3×0.005=11.959mm＞Amin=11.957mm所以不会产生不可修复的废品。工件最大尺寸=11.974+3×0.005=11.989mm＞Amax=11.984mm故会产生可修复的废品。废品率=0.5－f((11.984-11.974)/0.005)=0.5－0.4772=2.28%0.0160.04312dxδ公差带中心尺寸分布中心6σAminAmax（5）非正态分布曲线实际加工中，工件尺寸的分布有时并不近似于正态分布。如切削工具磨损严重时，其尺寸分布如图5-24a所示。因为在加工过程中每一短时间内工件的尺寸可能正态分布，但由于切削工具的磨损，不同时间尺寸分布的算术平均值是逐渐变化的，因此分布曲线出现平顶。当工艺系统出现较严重的热变形影响时，由于热变形在开始阶段变化较快，以后逐渐减慢，直至热平衡状态，因此分布曲线出现不对称的情况，如图b所示。若将两次调整下加工的工件合在一起，分布曲线将出现双峰曲线。这是因为两次调整下，曲线的参数不可能完全相等（5-24c所示）。5.5加工误差统计分析5.5加工误差统计分析图5-24几种非正态分布曲线5.5.2点图法1．点图的基本形式（1）图顺次地，每隔一定时间抽样测量一组m个工件（通常m=5~10），以工件组序为横坐标，以每组工件实际尺寸或实际误差xi的平均值为纵坐标作点图即可。点图反映瞬时分布中心的变化情况，说明规律性变值误差对加工精度影响的程度和影响方式。（2）R图测量方法同前，它也是以工件组序为横坐标，但以每组尺寸的极差Rj为纵坐标作点图。R图反映随机误差的大小和变化情况，说明尺寸的分布特征。5.5加工误差统计分析x11mjiixxmjx2．质量控制一个可靠的工艺过程必须具有精度稳定性和分布稳定性两方面的特征。精度稳定的工艺过程应无规律性变值误差的显著影响，而分布稳定的工艺过程，其分散范围（瞬时分散）应无明显变化。由于图反映工艺过程精