数学中的各种美

数学中的各种美熟悉数学的人都体会到在数学中充满着辩证法。如果说各门科学都包含着丰富的辩证思想，那么，数学则有自己特殊的表现方式，即用数学的符号语言以及简明的数学公式能明确地表达出各种辩证的关系和转化。例如：初等数学中：点与坐标的对应；曲线与方程之间的关系；概率论和数理统计所揭示出的事物的必然性与偶然性的内在联系等。以及高三数学里所涉及的：极限概念，特别是现代的极限语言，很好地体现了有限与无限，近似和精确的辩证关系；牛顿——莱布尼茨公式描述了微分和积分两种运算方式之间的联系和相互转化等等这类事例在数学中比比皆是。当然，要真正掌握好“数学美”，仅仅知道一些数学知识还是远远不够的，还必须善于发现各种数学结构、数学运算之间的关系，建立和运用它们之间的联系和转化。唯其如此，才能发挥出蕴藏在数学中的辩证思维的力量。数学中许多计算方法之灵巧，证明方法之美妙，究其思路，往往就是综合利用了各种关系并对他们进行过适宜的转化而成的掌握了“两优择其重，两劣择其轻”这一辩证的比较思想，我们就掌握了解这类题目的钥匙。其实，全部数学无处不在贯彻“两优择其重，两劣择其轻”这一原则。数学无处不体现着辩证法，数学家们无时不在用辩证的眼光看问题。陈省身教授80年代在北大讲学时说：“人们常说，三角形内角和等于180，但是，这是不对的！”……“说三角形内角和为180不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对。应该说三角形外角和是360！把眼光盯住内角，只能看到：三角形内角和是180；四边形内角和是360；五边形内角和是540……N边形内角和是（N-2）*180，虽然找到了一个计算内角和的公式，但公式里包含边数N。如果看外角呢？三角形外角和是360，四边形外角和是360，五边形外角和是360，……，N边形外角和是360。数学的简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：V－E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2R勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方正弦定理：ABC的外接圆半径R，则数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。庞加莱指出：“在解中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”数学的类比美解析几何中的代数语言具有意想不到的作用，因为它不需要从几何考虑也行。考虑方程我们知道，它是一个圆。圆的完美形状，对称性，无终点等都存在在哪里呢？在方程之中！例如，与对称，等等。代数取代了几何，思想取代了眼睛！在这个代数方程的性质中，我们能够找出几何中圆的所有性质。这个事实使得数学家们通过几何图形的代数表示，能够探索出更深层次的概念。那就是四维几何。我们为什么不能考虑下述方程呢？以及形如的方程呢？这是一个伟大的进步。仅仅靠类比，就从三维空间进入高维空间，从有形进入无形，从现实世界走向虚拟世界。这是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲学家程颢的诗句可以准确地描述这一过程：道通天地有形外，思入风云变态中数学的对称美在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形??圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形??任何一条直径都是它的对称轴梯形的面积公式：S=（上底+下底?H2，等差数列的前N项和公式：其中A是上底边长，B是下底边长，其中A；1是首项，AN是第N项，这两个等式中，A与A1是对称的，B与AN是对称的。H与N是对称的。对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如我们喜爱的对数螺线、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。数学的奇异美全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数，不合理地把B约去得到，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：。这个问题涉及到“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现一种奇异美吗还有一些“歪打正着等式”，比如人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数E的点的轨迹，当E1时，形成的是椭圆．当E1时，形成的是双曲线．当E=1时，形成的是抛物线常数E由0.999变为1、变为0.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美语言美数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括1数的语言——符号语言关于“∏”，《九章算术》如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有SIN8706;、∞等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致2形的语言——视角语言从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值”让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。