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2、无穷积分的性质与收敛判别1、证明定理11.2及其推论1定理11.2（比较法则）设定义在[),+∞a上的两个函数f和g都在任何区间],[ua上可积，且满足),[),(|)(|+∞∈≤axxgxf，则当∫+∞adxxg)(收敛时，∫+∞adxxf|)(|必收敛（或者，当∫+∞adxxg)(收敛，所以aA∃，当Auu12时，有∫21)(uudxxgε。由于)(|)(|xgxf≤，),[+∞∈∀ax，因此更有∫∫≤2121)(|)(|uuuudxxgdxxfε故∫+∞adxxf|)(|收敛。推论1若f和g都在任何],[ua上可积，1)(xg，且cxgxfx=∞→)(|)(|lim，则有（I）当+∞c0时，∫+∞adxxf|)(|与dxxga∫+∞)(同敛态；（ii）当0=c时，由∫+∞adxxg)(收敛可推知，dxxfa|)(|∫+∞出收敛；（iii）当+∞=c时，由∫+∞adxxg)(发散可推知∫+∞adxxf|)(|也发散。证（I）因为+∞=+∞→cxgxfx)(|)(|lim0，所以)(0c∀εε存在aA，使得当Ax时，有εε+−cxgxfc)(|)(|0即dxxgcxfxggc)()(|)(|)(()(0εε+−（*）从而，若∫+∞adxxg)(收敛，那么∫+∞+Adxxgc)()(ε收敛。于是由∫∫+∞+=AaAdxxfdxxfdxxf|)(||)(||)(|收敛。若∫+∞adxxg)(发散，则∫+∞−Adxxgc)()(ε发散，而|,)(|)()(0xfxgcε−故∫+∞adxxf|)(|发散，即∫+∞adxxf||(|发散。综合即知，∫+∞adxxf|)(|与∫+∞adxxg)(同敛态。（ii）在（*）中令0=c，取右半个不等式，类似可证得结论。（iii）在（*）中取1=−εc，用左半个不等式即将得证。2、设f与g是定义在[),+∞a上的函数，对任何au，它们在],[ua上都可积。证明：若∫+∞adxxf)(2与∫+∞adxxg)(2收敛，则∫+∞adxxgxf)()(与∫+∞+adxxgxf2)]()([也都收敛。证由)(21||22gffg+≤及∫+∞adxxf)(2与∫+∞adxxg)(2收敛可知∫+∞+adxxgf))((22收敛，故∫+∞adxxfg)(也收敛。又2222)(gfgfgf++=+从而，由∫+∞adxxf)(2，∫+∞adxxg)(2及∫+∞adxxfg)(收敛知∫+∞+adxxgf)()(2收敛。3、设f，g，h是定义在),[+∞a上的三个连续函数，且成立不等式)()()(xgxfxf≤≤证明：（1）若∫+∞adxxh)(与∫+∞adxxg)(都收敛，则∫+∞adxxf)(也收敛；（2）又若∫∫+∞+∞==aaAdxxgdxxh)()(，则∫+∞adxxf)(（1）由于f，g，h是定义在),[+∞a上的三个连续函数，故hghf−−,必在有限区间],[ua上可积，又由)()()(xgxfxh≤≤知)()()()(|)()(|xhxgxhxfxhxf−≤−=−由已知，有∫+∞−adxxhg)]()[收敛，据比较原则，知∫+∞−adxxhxf|)()(|收敛，从而∫+∞−adxxhxf)]()([收敛，由∫+∞adxxh)(收敛得∫+∞adxxf)(也收敛。（2）由已知，在给aM，有∫∫∫≤≤AaMaMadxxgdxxhdxxh)()()(且∫∫+∞+∞→==McaMAdxxhdxxh)()(lim，∫∫+∞+∞→==MaaMAdxxgdxxg)()(lim由迫敛性定理：∫∫+∞+∞→==aMaMAdxxfdxxf)(lim)(。4、讨论下列无穷积分的收敛性：（1）∫+∞+041xdx（2）∫+∞−11dxexx；（3）∫+∞+01xdx；（4）∫+∞+131arctandxxxx；（5）∫+∞+1)1ln(dxxxn；（6）∫∞+≥+0)0.(1mndxxxnm；解（1）因为1,34,111lim343===+⋅+∞→lpxxAx，所以积分收敛。（2）因为01lim2=−+∞→xxexx，0,2==lp，所以积分∫+∞−11xedx收敛，从而积分∫∫+∞+∞−−=−1111xxedxedx收敛。（3）因为1,21,111lim2121===+⋅+∞→lpxxx，故积分发散。（4）因为21arctanlim3π=++∞→xxxx，这时2=p，2πl=故积分收敛。（5）1≤n时，+∞=+⋅−∞→21)1ln(limnnnxxx，故积分发散，1n时，由于0)1ln(lim)1ln(lim2121=+=+⋅−+∞→++∞→nxnnnxxxxx。这里0,121=+=lnp，故1n时积分收敛。（6）11lim1lim=+=+⋅+∞→−∞→nnxnmmnnxxxxx，这时1=l，mnp−=，所以当1−mn时积分收敛，当1≤−mn时积分发散。5、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：（1）∫∞+1sindxxx；（2）∫+∞+021)sgn(sindxxx；（3）∫∞++0100cosdxxxx；（4）∫+∞exdxxxsinln)ln(ln解（1）∫∫∞+∞+⋅=1122sinsintdtttdxxx∫∫+∞+∞==11sin2sin2dxxxdttt由课本P274例3知：∫∞+1sindxxx是条件收敛的。（2）由于0,111)sgn(sin22≥+≤+xxxx。而∫+∞+021xdx收敛，所以dxxx∫+∞+021)sgn(sin绝对收敛。（3）由于xxxdxA+≤∫100,1cos0在],0[+∞上单调且当+∞→x时趋于零，由狄利克雷判别法可知积分（3）是收敛的。又因xxxxxx2sinln)ln(lnsinln)ln(ln≥xxxxx2cosln2)ln(lnln)ln(ln−=而∫+∞3ln)ln(lndxxx发散，∫+∞32cosln2)ln(lnxdxxx收敛，从而积分（4）不绝对收敛，因此（4）积分条件收敛。6、举例说明：∫+∞adxxf)(收敛时∫+∞adxxf)(2不一定收敛；∫+∞adxxf)(绝对收敛时，∫+∞adxxf)(2也不一定收敛。解令),2,1(11,01,)(333=+≤++≤=nnxnnnnxnnxf，则∫∑+∞∞−=1121|)(|nndxxf收敛，但∫∑+∞∞==1121)(nndxxf发散。7、证明：若∫+∞adxxf)(绝对收敛，且0)(lim=+∞→xfx，则∫+∞adxxf)(2必定收敛。证因0)9lim=+∞→xfx，所以aA∃当),[+∞∈Ax时，1|)(|xf，从而在),[+∞A上，|)(|)(2xfxf≤现∫+∞adxxf)(2绝对收敛，于是∫+∞Adxxf|)(|收敛，从而∫+∞Adxxf)(2收敛，故∫∫∫+∞+∞+=aAaAdxxfdxxfdxxf)()()(222收敛。8、证明：若f是),[+∞a上的单调函数，且∫+∞adxxf)(收敛，则0)(lim=+∞→xfx，且))(1(0)(+∞→=xxxf。证设f单调递减，则必有0)(≥xf（否则，若存在bx=，使0)(xf，则当bx时，0)()(≤bfxf，从而∫∫∫+∞+∞+=abaafff，发散，矛盾）。由∫∞adxxf)(收敛知，任给0ε，存在MxaM,时∫∫=≥xxxxxfxdtxfdttf22)(2)()(2ε故当Mx时，ε≤)(0xxf，因此0)(lim=∞→xxfx，所以)1()(+∞→=xgxf，且0)(lim=+∞→xfx。9、证明：若f在),[+∞A上一致连续，且∫+∞adxxf)(收敛，则0)(lim=+∞→xfx。证因为)(xf在],[+∞a上一致连续，故任给0x，存在某个0δ，使当21,xx],[+∞∈a且δ−||21xx时，有ε−|)()(|21xfxf（1）又因∫+∞adxxf)(收敛，所以对δεε=1，存在aM，使当Mx时，有δεδ∫+xxdttf)(（2）现考虑积分∫+δxxdttf)(。δ+xtx时，由（1）有εε+−)()()(tfxftf。从而∫∫∫++++≤≤−δδδδεδεxxxxxxdttfdtxfdttf)()()(，即δεδδ≤−∫∫++xxxxdtxfdtxf)()(（3）于是当Mx时，由（2）及（3）知∫+=δδxxdtxfxf)(1|)(|+−≤∫∫∫+++δδδδxxxxxxdttfdttfdxxf)()()(1εεε2=+。故+∞→=xxf0)(lim10、利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法。证：阿贝尔判别法：收敛）。上单调有界，则在收敛，则∫∫+∞+∞+∞aadxxgxfaxgdxxf)()(),[)()(因存在且为有限数；于是上单调有界，从而在)(lim),[)(xgAaxgx+∞→=+∞收敛。收敛，因而判别法知故由上单调且在上有界，而在收敛，所以又因为∫∫∫∫∫∫∞+∞+∞+∞++∞→+∞−+=−=−+∞−+∞=−+=aaaaxuaadxAxgxfdxxAfdxxgxfdxAxgxfDirichletAxgaAxgadxxfuFdxxfAxgxfxAfxgxf])()[()()()(])()[(,0])([lim),[)(),[)()()(],)()[()()()(