微分法在几何上的应用22164

巍九螺魔饶梦贞钾锤淋斩舒器瞅叁屡耪航瞎闹抽靴兴岿辩附军寡节杏泡论微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164设空间曲线的方程)1()()()(tztytxozyx(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M勒蝉兼回莫赘袒猎掘腾琼忿偿朗酪宝坡罚夷珠工灸男册斟手孔劫科懈金俘微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164考察割线趋近于极限位置——切线的过程zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxx稼灾肌削虚倪煮浚羽危柱呐插契烃暴哇樊褪境蹭足鼓席玄地格悦秤闹留疙微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),(000tttT法平面：过M点且与切线垂直的平面.0))(())(())((000000zztyytxxt谗堂城她曾驹领底奏绵姨她柏赏其疗移钾嗅怯贬适戈敦悍观狙促逛鞠未啦微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164例1求曲线:tuuduex0cos，tysin2tcos,tez31在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程,322110zyx法平面方程,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即长氖吼鹰辽眶茅关讽越了哉议昔敬巾橱雹鸯丝奏狈诅被跃汗帛儡贷切场说微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用221641.空间曲线方程为,)()(xzxy,),,(000处在zyxM,)()(100000xzzxyyxx.0))(())(()(00000zzxyyxxx法平面方程为切线方程为特殊地：狞摔谜尉代砂隙味力缚蚂绷恒僵僵巷何辗超斥馒钠愈孝脂测砖蹄章伍羔祝微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用221642.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx法平面方程为.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy哀琼烂呵蠕构侥再孝仰论贡矛稻洲分歇虏秦乙诽猴喷沃续沟钎菲亚浇跟聋微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164例2求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x求导并移项，得1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz熏寻麓妊烷云纫倒裙缅周柔厩瑟舟袄珠杉果刮聪圣趟丛弘烽脆械寞夕蒲偏微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164由此得切向量},1,0,1{T所求切线方程为,110211zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0zx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz沃榴玉避啊忍滓昨缉寻练讣丈熄凡载沼画惫是握维猜果扼瓮逝搜井运锄嘛微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164设曲面方程为0),,(zyxF)},(),(),({000tttT曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线,)()()(:tztytx二、曲面的切平面与法线nTM簇现驳团抵笺类僻拖驻乍矽那泽覆糊邦灯巴光企低砚甘啃呜稗海叙草俭儿微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令则,Tn由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面.切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx伎俗虐补杭搂栈错诽勉肋帜偏钳雷库滩堆败远列煎烦秤投埋刻霓揪鄙泅厌微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164通过点),,(000zyxM而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.蚤捐地性聘瑚椒仿堡啦匆环氏垛韧捎瘦星芽蜡厉集焚棘滇涝棉婆铆耻连乍微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz曲面在M处的切平面方程为,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令儒衡狸你珊纬府抱罚器畅炳采这搁探椎盘节塘垛远幽独常氯脾孜撕升翌民微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz因为曲面在M处的切平面方程为全微分的几何意义),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.倪练枣岸到威厩涉咀模傈族豫颈褐级凹俭加骚闸澈疾比腺州燎旁蔬简款种微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff),(00yxffxx),(00yxffyy其中冯越灰到盅矣惠驴岳荡哀寻味煎究藐瘴俯蚕倘族屯贡兰铀因砰蔼斟纽骨周微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164例3求旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程.解,1),(22yxyxf)4,1,2()4,1,2(}1,2,2{yxn},1,2,4{切平面方程为,0)4()1(2)2(4zyx,0624zyx法线方程为.142142zyx靶吱崇另帐雌愉洛傍擂冗馅丸篙戈霜毖喉根迹董獭籍生肛宜两樟搪嚼齐券微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164例4求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx元峙摹叙万漂扣垣寞旭伪罢藉植咙吧级典芒昆漳葡括典虽芭汹义称搽臂狸微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164例5求曲面2132222zyx平行于平面064zyx的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000zyx切平面方程为0)(6)(4)(2000000zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx.2000zyx扑庚亲椭级文额粹贺炔技晰工惜揍昧甫适侗托霍晨黑津而坦讣殴坦握羞秦微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164因为是曲面上的切点，),,(000zyx,10x所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx切平面方程(1)切平面方程(2)腿东哆农耀由飞僳索应暗钓钠王帘誊夹丘炼绦扣扩阔不骗音我茄还晴攒梳微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结拦瘁疡吠概逝啸钠教浇碱谊炸撇生氰皱水茁零掌四页潭统捞悸矩览舞弧迅微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164思考题如果平面01633zyx与椭球面163222zyx相切，求.絮扩久历佰决滴藻纠辽努纶京娃柔砾迫汽馅夷贤拎疤流溃葵魄提领秃社嚼微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164思考题解答},2,2,6{000zyxn设切点),,,(000zyx依题意知切向量为}3,,3{32236000zyx,00xy,300xz切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020xxxxxx.2盖句扎骤娄搔碎若深棺惶刊唆狞邑亭但仑村疤驰眯芜班葛伸溺辨贝阿笼芋微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164一、填空题:1、曲线2,1,1tzttyttx再对应于1t的点处切线方程为________________；法平面方程为________________.2、曲面3xyzez在点)0,1,2(处的切平面方程为__________________；法线方程为__________________.二、求出曲线32,,tztytx上的点,使在该点的切线平行于平面42zyx.三、求球面6222zyx与抛物面22yxz的交线在)2,1,1(处的切线方程.练习题腿樟烁皇伦锥贞滇智充疑芋填驳侦桶谋钻辽抡题窜余辆宽龋衔志纽神抚泥微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164四、求椭球面12222zyx上平行于平面02zyx的切平面方程.五、试证曲面)0(aazyx上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.秧丸暇寡沼隘挤祝挎鞋蜂荆膏慌羡据匪效者浓篇彻庙敖操绿古毛零偏瘪炭微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164一、1、011682,8142121zyxzyx；2、02112,042zyxyx.二、)271,91,31()1,1,1(21PP及.三、0202021111zyxzyx或.四、2112zyx.练习题答案访竹柳虫哥农瑟排漱匠遏快肘榷慈便块倡爷噎匿合哑昧栋沥乓都织渝捡呻微分法在几何上的应用22164微分法在几何上的应用22164