弹塑性力学作业解答

1.4、已知物体中的某一点的应力张量为2100150201515150ijKNcm，试将它分解，求球形应力张量和偏量应力张量。解：12311()(10200)1033故球形应力张量为2100001000010mKNcm，偏量应力张量为2001501015151510ijKNscm1.6、试证明等式：13ijijijijkkjjdsded证明：13ijijkkijs，13ijijijjjdedd11()()33ijijijkkijijijjjdsded111339ijijijijjjkkijijkkijijjjsdesdded3ijij，'11223310ijijssssJ，1122330ijijddedede13ijijijijkkijdsded证毕！1.9、一长度为l的圆形薄管，平均半径为R，在两端受拉力P及扭矩M的作用后，管子的长度变为1l，两端相对的扭矩角为。材料假定是不可压缩的，在小变形的条件下，给出等效剪应变及（将表达式中的应力改为应变）的表达式。解：建立zr、、坐标系，由材料的不可压缩性可知，泊松比0.5，1zlll12rzlll，zzRRll，0rzr11102022002ijllRllllRlllll，1122331()03e，ijije22222111222()()2()3()()22ijijllllllRReelllll由ij的表达式可知，三个主应力中有一个为12lll。另两个应力由材料力学的公式可知：2211221,31122121()422221119()4()4242llllRll221119()4()44llllRll22111232213119()4()244212119()4()2llllllRlllllRll12213()9()4()llllR5.2、在拉杆中，如果0F和0l为试件的原始截面积和原长，而F和l为拉伸后的截面积和长度。则截面收缩率为00FFF，而应变00lll，试证明当体积不变时，有这样的关系：(1)(1)1证明：体积不变，则有00FlFl000000(1)(1)(1)(1)1llFFlFlFlF证毕！5.5、对于线性弹塑性随动强化模型，若1/100EE，试求（1）、已知给定应力路径为01.500ss，求对应的应变值。（2）、已知给定应变路径为0410410ss，求对应的应力值。（1）、解：①、0，0；②、1.5s，10.551sssE③、0，1.55149.5sssE；④、s，10.50.549.5ssssEE⑤、0，0ssE（2）、解：①、0，0；②、41s，1401.4sssE③、0，11.42(412)1.420.390.99ssssssssEE；④、41s，10.99411.4sssE⑤、0，11.42(412)0.99sssssEE5.6、等截面杆，截面积为A，在x=a(ba)处作用一逐渐增加的力P，材料为理想弹塑性的，求ep、sp、残余应力和残余应变。解：21120NNPPAAAA……①，12121200baba……②1)、弹性阶段时：11E,22E1bPabA,2aPabA;12,a端首先屈服。当1s时，ePP，esabPAb2）、sp当2s时：sPP，1s，2s代入①得2ssPA3）、卸载（是弹性的）1bPabA，2aPabA；11sseePPPP残余应力：**011(1)0sssebPPabAP由①式得：0021残余应变：0*022(1)sePEPE由②式得：0012ba6.3证明下列等式：（1）、'222113JJJ（2）、''22ijijijJJss证明：（1）、右边21223311231()()32221223311231223311333(222)3222'12312233121()3J=左边证毕！（2）、'2222111()()222ijijijijijijijijijijJsss'2ijijijijJs'212ijijJss'2ijijJss''22ijijijJJss证毕！6.4、设1s、2s、3s为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises屈服条件时，其形式为2221233()2ssss，提示：1230sss证明：Mises屈服条件：'22221223311()()()6J11s，22s，33s'22221223311()()()6Jssssss2221231223131222(222)6sssssssss22212312231313sssssssss又2222123123122313()2220ssssssssssss2221223131231()2sssssssss'22221231()2Jsss又2'23sJ2221231()32ssss2221233()2ssss证毕！6.7、已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，厚度为t，受内压力p及轴向拉应力F的作用，试求此时圆筒的屈服条件，并画出屈服条件的图。解：222222zFFrpFprprrtrtrttt在P作用下薄壁受到的张力0sin2prdpr22tpr/prt，内表面：rp；外表面：0r，其他应力为零。内表面首先屈服（应力差r大）外层：2zFprt，/prt，0rMises屈服条件：2'23sJ，'22221()()()6zrrzJ2223()2Fsprt22/2()()1/3FssprtTresca屈服条件：13s①、2Fprt，1z，12Fssprt②、2Fprt，1，122sprt7.1、已知某材料在纯剪时的曲线()f，问()曲线是什么形式？解：'222222213()()()6()2xyyzxyyzzxzxJ'2222222221()()()()333xyyzxyyzzxzxI由题意可得，纯剪时，0xy，0xy，其余均为零。1133xy3，33xy3(3)f7.2、已知某材料在简单拉伸时满足()1()E曲线规律。设弹性时的泊松比00.5，求在拉伸过程()的规律。解：简单拉伸时：13x，1(12)3x，3k，03(12)Ek，yx，zx01212xxE1()xxE0121()12x0()1()2xx7.4、已知某材料在纯拉时进入强化后满足'pdconstd条件。若采用Mises等向强化模型，求该材料在纯剪时/dd的表达式。解：由题意可知，该材料为线性强化材料。对于Mises等向强化模型：'3322ppijijijdddss材料在纯剪时：3dd，1231()03ijijs，12ppijij''13332223ppijijijdddd'13pdd''1313epddddddddGG第八章：P155推导Levy—Mises关系式2yxxyyxxyvvxyvvxy证明：对于平面应变问题，刚塑性材料的本构关系为：ijijs()()xyxyxyxyxyxyxyxysss1()2yxxyyxxyvvxyvvxy2yxxyyxxyvvxyvvxy证毕！P156在刚塑性平面应变条件下，用Tresca屈服条件下，证明公式222()44xyxys证明：Tresca屈服条件为：13max2sk对于平面应变（在xoy平面内）有：2xyz由材料力学中的畸变能条件可知：2222222()()()6()6xyyzxyyzzxzxk其中k为纯剪屈服应力。0xzyz22222()0.5()0.50.5()66xyxyyxyxxyk整理得：222()44xyxykz是其中一个主应力，故其余两个主应力可以由以下公式确定：221,31()422xyxyxy2213max1()422xyxysk整理得：222()44xyxys证毕！8.1图示的楔体，两面受压，已知324，分别对q=0.5p,q=p两中情况，求极限荷载p刚性区解：①、q=p时，见图（1），在''ABA中：'10nAk''ABk沿''ABBO线，2Bk，0.5B,'22*0.5(1)BBOBkkkk，2nBqk2(0.51)qk②、q=0.5p时，情况一见图（2），在ABO中：1n，0.50.5nAABpkpk在OCD中：2DDCPkkP沿ABCD线，2Ck，0.25C20.52*0.250.50.5CBckpkkpkkkp,2(0.52)spk情况二见图（1），与①一样所以2(0.51)qk8.3、已知具有尖角为2的楔体，在外力P的作用下，插入具有相同角度的V形缺口内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。1）、楔体与V形缺口之间完全光滑；2）、楔体与V形缺口接触处因摩擦作用其剪应力为k。解：1）、OD边：2noqkoqkGD边：10nGkGk沿OEFG线，2()GOGOk，3424GO2sin4(1)pqODbk