大学物理4-1-5简谐运动

教学基本要求一掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系.二掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.三掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义.四理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点.五了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律.a定义：物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动b实例:心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等1机械振动c周期和非周期振动平衡位置4.1.1简谐振动4.1简谐振动及其基本特征口琴的发音机理12345677654321？？4.1简谐振动及其基本特征3265琴码弓提琴弦线的振动4.1简谐振动及其基本特征简谐运动最简单、最基本的振动谐振子作简谐运动的物体简谐运动复杂振动合成分解4.1.2简谐振动的基本特征4.1简谐振动及其基本特征kl0xmoAA弹簧振子的振动00Fx4.1简谐振动及其基本特征振动的成因b惯性a回复力4.1简谐振动及其基本特征mk2令xxFm3简谐振动的运动学方程xtx222dd得xa2即omakxF具有加速度与位移的大小x成正比,而方向相反特征的振动称为简谐运动a4.1简谐振动及其基本特征xtx222dd积分常数，根据初始条件确定)cos(0tAx解方程设初始条件为:000=时，，vvtxx简谐运动方程)2sin()cos(00tAtAx)sin(tAx4.1简谐振动及其基本特征)cos(0tAx简谐运动方程xtx222dd)sin(dd0tAtxv)cos(dd0222tAtxa)sin(0tmv)cos(0mtaAmv速度振幅2mAa加速度振幅4.1简谐振动及其基本特征tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooT)cos(0tAx00取π2T)2πcos(0tA)sin(0tAv)πcos(02tA)cos(02tAaT4.1简谐振动及其基本特征结论:简谐振动的基本特征（判断依据）1.物体受线性回复力作用：kxF2.物体的位移、速度、加速度是时间的余弦函数0sin()ddxAttv2202cos()ddxaAtt0cos()xAt(平衡位置x=0)3.加速度与位移大小成正比，方向相反xa24.1简谐振动及其基本特征补充例题一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动.以平衡位置A为原点，向下为x轴正向.22d()dxmkxlmgt22ddxmkxt证:klmg4.1简谐振动及其基本特征22ddxmkxt2km0dd222xtx令该系统作简谐振动4.1简谐振动及其基本特征例4-1弹簧振子悬挂于天花板上，振子m静止于A点，这时弹簧的伸长量为l，如图所示。试证明振子可在A附近作简谐振动，不计空气阻力。证明:以A为原点，向下为轴正向，建立坐标系。当振子m位于x处时，所受的合力为：l是弹簧挂上重物后的静伸长：x=0，mg＝kl()fmgkxl4.1简谐振动及其基本特征mg＝kl()fkxlmgfkx该物体受线性回复力作用，所以它作简谐振动。4.1简谐振动及其基本特征)cos(0tAx1振幅maxxA2周期、频率kmTπ2弹簧振子周期π2T周期π21T频率Tπ2π2圆频率])(cos[0TtA周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关tx图AAxT2Tto4.2简谐运动的振幅、周期、频率和相位]π2cos[0tA1）存在一一对应的关系;),(0vxtπ2~02）位相在内变化，质点无相同的运动状态；3位相0t3）初位相描述质点初始时刻的运动状态.00，t)(π2nn相差为整数质点运动状态全同.（周期性）π]20[π]π[(取或)tx图AAxT2Tto)sin(0tAv)cos(0tAx简谐运动中，和间不存在一一对应的关系.xvvvv4.2简谐运动的振幅、周期、频率和相位22020vxA000tanxv4常数和的确定A000vvxxt初始条件00cosAx00sinAv对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(0tAv)cos(0tAx4.2简谐运动的振幅、周期、频率和相位cos0A2π0sin0Av2π0sin取0,0,0vxt已知求讨论xvo)2πcos(tAxAAxT2Tto4.2简谐运动的振幅、周期、频率和相位x0x0=+A★用分析法确定弹簧振子初位相0（例4-2）0sincos0000AvAAx00t=0，x0=A,v0=0.0sin1cos000sin0cos0000AvAx20x0t=0,x0=0,v00v0)sin(tAv)cos(tAx4.2简谐运动的振幅、周期、频率和相位0sincos0000AvAAx00sin0cos0000AvAx2300sin2cos0000AvAAx30x0t=0,x0=-A,v0=0-Ax0v0t=0,x0=0,v00x0A／2t=0,x0=A/2,v00v04.2简谐运动的振幅、周期、频率和相位旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.AA4.3旋转矢量)cos(0tAx以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAo4.3旋转矢量)cos(0tAiAx以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAcos0Ax0t0x)cos(0tAiAx4.3旋转矢量以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAooAtt0t)cos(tAxx)cos(0tAiAx4.3旋转矢量Amv)2πcos(0tAv)cos(02tAa2nAa2π0tmvvxy0At)cos(0tAxnaa4.3旋转矢量（旋转矢量旋转一周所需的时间）π2T用旋转矢量图画简谐运动的图tx4.3旋转矢量AAx2AtoabxAA0位相差：表示两个位相之差.1）对同一简谐运动，位相差可以给出两运动状态间变化所需的时间.2010()()tt110cos()xAt220cos()xAt12tttat3πTTt61π23πv2Abt0xto同步2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它超前落后txoπ反相例4-3如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0xxo2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；4.3旋转矢量ox解（1）11s0.6kg02.0mN72.0mkm05.0022020xxAv0tan00xvπ0或A由旋转矢量图可知0)cos(tAx)0.6cos(05.0t4.3旋转矢量oxA2A解（2）)cos(tAx2Ax)cos(tA21)cos(Axt3π53π或tA3πt由旋转矢量图可知tAsinv1sm26.0（负号表示速度沿轴方向）Ox4.3旋转矢量例4-4已知如图所示的谐振动曲线，试写出振动方程.0cos()xAt解设谐振动方程为024cos由图知:A＝4cm02xcm00dxvdt0230sin0023,0t00sin0Av由得:4.3旋转矢量24cos()3xtcm25330224cos()4cos()321cos()32253373或2sin()03vA由2sin()03得:代入振动方程有s1tcm2x0v时,，4.3旋转矢量例4-5一质量为m=0.01kg的物体在O点附近作简谐振动，其振幅为A=0.08m，周期为T=4s，t=0时刻物体在x0=0.04m处，并向Ox轴负方向运动.试求(1)振动方程；(2)由起始位置运动到x=-0.04m处的最短时间.o08.004.004.008.0m/xv4.3旋转矢量o08.004.004.008.0m/x0,0.04mtxAπ030v解1s2ππ2Tm08.0As4,m08.0,kg01.0TAm已知0,m04.0,00vxt求（1）求运动方程0cos()xAt作旋转矢量图：)3π2πcos(08.0tx4.3旋转矢量（2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间.法一设由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间为to08.004.004.008.0m/xv4.3旋转矢量2π3π32ts667.032o08.004.004.008.0m/x)3π2πcos(08.0tx)3π2πcos(08.004.0t323π2π21)3π2πcos(tt4.3旋转矢量o08.004.004.008.0m/x法二起始时刻时刻t3πts667.032t1srad2π旋转矢量法较简单。4.3旋转矢量1单摆moAmglmglMsin22ddtJmgl2Jmllgt22dd222ddt)cos(mtlg2令glTπ2转动正向sin,5时二微振动的简谐近似单摆和复摆oC2复摆mglM22ddmglJt222ddt2mglJ令)cos(mt)5(（点为质心）C2πJTmgl转动正向5-1简谐振动的动力学特征)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk/2（振幅的动力学意义）5.3简谐振动的能量简谐运动能量图tx~t~v221kAE0tAxcostAsinvv,xtoT4T2T43T能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin215-3简谐振动的能量简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAEEBCAApExO5-3简谐振动的能量动能和势能在一个周期内的平均值2cos121sin)2cos1(21cos2201dTKkEEtT241kA