2019考研数学二考试真题答案解析(完整版)

2019考研数学二考试真题答案解析（完整版）来源：文都教育1.（C）3tan~3xxx2.（B）'sincos2sin,sin,yxxxxyxx令0y得0,,xx又因为'sincos,yxxx将上述两点代入得'()0,y所以(,2)是拐点.3.（A）0ed(2)1xxxP发散（A）或000dee|edxxxxxx00ede|011xxx4.（D）解：由条件知特征根为121，特征方程为212()()210，故a=2，b=1，而y*=ex为特解，代入得C=4，选（D）5.因为2222sinxyxy++22221cosxyxy-++2131IIII\因为2222221cos2sinsin22xyxyxy++-+=222222sin2sincos22xyxyxy+++=因为2222424xyxypp++\2222sincos22xyxy++\22221cossinxyxy\-++32II\321III\选A6.解，必要性()()fxgx,相切于a则''()()()aafagafg　　''322''2.()()[1']0()()()()()()()()lim2()()2()22limlimxaxaxayPyagayfxgxfxgxfxgxfagafaxaxe　　　充分性2''()()()()()()()()()2()()()()()lim()()22limlimxaxxxaxafxgxOfagaxafgfagaxafxgxfagafaga　　　　　　　　=　　　　f(x)与g(x)相切于点a.且曲率相等.选择（B）7.因为0Ax=的基础解系中只有2个向量()24()nrArA\-==-()0rA*\=\选A8.选（C）解：由22AAE+=得22λλ=+，λ为A的特征值，2=-l或1，又1234Aλλλ=，故1231λ=λ=-2λ=，，规范形为222123yyy--，选（C）9.()()02(21)212(21)21000222ln2lim22ln221lim2lim121limeee4exxxxxxxxxxxxxxxxxx®+-+-×+-+++=++-====10.当32tp=时，3333sin11cos12222xypppp=-=+=-=，即为点31,12p÷ç+÷ç÷ç23ddd1d1sin1ddd1cosd1tyytykxtxtxp=-==×===--331111.22322yxyxyxppp÷ç-=---Þ-=-++÷ç÷çÞ=-++在y轴上的截矩为322p+11.2322222;zyyzyyyfffyfffxxxyxx÷ç÷ç÷=-=-=+=+÷çç÷÷çç÷ç32233222222zzyyxyxfyffxyxxyyfyffxxyyfx　　　　　　+=-×+×+=-++÷ç÷=ç÷ç÷ç12.解析：lncos,06yxx2606206600sin1dcos1dcos231secdln|sectan|lnln3ln3323xlxxxxxxxx13.解析：211001212012212120101201222100sin()d(d)d1sindd21sinsind|d21sind21111sind(cos)|(cos11)2244xxxtfxxxtxtttxttxxtxxtxxxxxxx14.解析：1112110011001111112111011112101043221012103403400340034AA＝15.解：当0x时22ln2ln()e()e(2ln2)xxxxxfxxfxx¢===+当0x时()eexxfxx¢=+当0x=时0000()(0)e11lim()limlimlime10xxxxxxfxfxfxxx-----+-====-2000()(0)11lim()limlim0xxxxfxfxfxxx----+-==-不存在\有()fx在0x=点不可导.于是2lne(2ln2)0(),0e+e,0xxxxxxfxxxx，不存在ìï+ïïï¢==íïïïïî令()0fx¢=得121,1,exx==-于是有下列表x(,1)-¥--1（-1，0）010,e÷ç÷ç÷ç1e1,e÷ç+¥÷ç÷ç()fx¢-0+不存在-0+()fx¯极小值极大值¯极小值于是有()fx的极小值为2e11(1)1,eeeff-÷ç-=-=÷ç÷ç，极大值为(0)1f=16.解析：令22222222236(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)()()=(1)(1)xABCxDxxxxxxxAxxxBxxCxDxxxx-1++=++-++--++-+++++++-++则22236(1)(1)(1)()(1)xAxxxBxxCxDx+=-+++++++-令1x=得93,3BB==令0x=得6ABD=-++令1x=-得324()ABDC=-++-令2x=得12772ABCD=+++解得2,3,2,1ABCD=-===故原式2211212d3dd1(1)1xxxxxxxx+=-++--++232ln1ln(1)1xxxCx=---++++-17.解析：（1）221e2xyxyx¢-=()2222222d()d222221eeed21eeed21ed2exxsxxSxxxxxxyxCxxCxxCxxC--÷ç÷ç=×+÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷ç÷ç÷ç=+÷ç÷ç÷=+òòò通解由(1)=e(1)efC=+得0C=所以22()=exfxx×（2）()22222221221222411ededede=e-e222xxxxxVxxxxxppppp÷ç÷ç=×÷ç÷ç÷ç=×==òòò18.（本题满分10分）已知平面区域2234{(,)|||,()}Dxyxyxyy，计算二重积分22ddDxyxxxy.【解析】2234()xyy的极坐标方程为2sinr，由对称性：12222222sin522044222424243524ddsind2dd2[sind]dsind(1cos)dcos(12coscos)dcos21[coscoscos]|3522221424323853212DDDDxyyxyxyyrrrrxyrr2019.设n为正整数，记nS为曲线esinxyx与x轴所围图形的面积，求nS，并求limnnS.解：设在区间[,(1)](0,1,2,,1)kkkn…上所围的面积记为uk，则(1)(1)e|sin|d(1)esindkxkxxkxkkkuxxxx；记=esindxIxx，则edcos(ecoscosde)ecosedsinecos(esinsinde)e(cossin)xxxxxxxxxIxxxxxxxxxxI所以1e(cossin)2xIxxC；因此(1)(1)11(1)e(cossin)|(ee)22kkkkkkkuxx；(这里需要注意cos(1)kk)因此(1)101(1)11eee;221e1111limlim212121nnnknkkknnnnSueeeSeee20.（本题满分11分）已知函数u(x,y)满足22222230uuuxyy，求a,b的值，使得在变换u(x,y)=v(x,y)eax+by之下，上述等式可化为函数v(x,y)的不含一阶偏导数的等式.[解析]e(,)eaxbyaxbyuvvxyaxxe(,)eaxbyaxbyuvvxyayy222222222222eee(,)ee2e(,)ee2e(,)eaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyuvvvaavxyaxxxxvvavxyaxxuvvbvxybyyy代入已知条件22222230uuuxyy得22222224(34)(223)(,)0vvvvababbvxyxyxy根据已知条件，上式不含一阶偏导，故a=0,3-4b=0即30,4ab21.已知函数()fx在[0,1]上具有二阶导数，且10(0)0,(1)1,()d1fffxx，证明：（1）存在(0,1)，使得()0f；（2）存在(0,1)，使得()2f.证：（1）设()fx在处取得最大值，则由条件10(0)0,(1)1,()d1fffxx可知()1f，于是01，由费马引理得()0f.（2）若不存在(0,1)hÎ，使()2fh-，则对任何(0,1)xÎ，有()2fx³-，由拉格朗日中值定理得，()()()()fxffcxxx-=-，C介于x与x之间，不妨设x，()2()fxxx¢£--，积分得200()d2\()d1fxxxxxxxx¢£--=，于是()(0)1ffx-，即()1fx，这与()1fx相矛盾，故存在(0,1),hÎ使()2fh-.22.解：123123(,,,,,)2222111101102123443313111101011022001111aaaaaaaa①若a=1，则123123123123(,,)(,,)(,,,,,)rrr此时向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，令123123(,,),(,,)AB，则102123(,)011022000000AB此时112123122232②若a=-1，则()2(,)3rArAB，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.③若1,1a，则121100111123(,)01011111001111aaaaaABaaaa此时11232123312311111121231111aaaaaaaaaaaaaaaaaa23.2212102201000200AxBy与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022ABxyxtrAtrByxyEBxxAEAET时,　＝(-,,)时,2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040AEP