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视觉SLAM十四讲从理论到实践高翔清华大学2016年冬第四讲李群与李代数Chapter4:LieGroupandLieAlgebra2第四讲李群与李代数•本讲目标•理解李群与李代数的概念，掌握SO(3),SE(3)与对应李代数的表示方式。•理解李代数上的求导的方式和意义。•使用Sophus对李代数进行运算。3第四讲李群与李代数•上讲回顾•三维世界中刚体运动的描述：旋转矩阵、旋转向量、欧拉角、四元数等。•除了表示之外，我们还要对它们进行估计和优化。•旋转矩阵自身带有约束（正交且行列式为1）。作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难。•李代数上可以变成无约束优化。44.1李群李代数基础54.1李群李代数基础•三维旋转矩阵构成了特殊正交群•三维变换矩阵构成了特殊欧氏群64.1李群李代数基础•什么是群？•群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。•记集合为A，运算为·，那么当运算满足以下性质时，称(A,·)成群：7封结幺逆“凤姐咬你”4.1李群李代数基础•可以验证•旋转矩阵集合和矩阵乘法构成群。•同样变换矩阵和矩阵乘法也构成群。•因此称它们为旋转矩阵群和变换矩阵群。•其他常见的群：84.1李群李代数基础•群结构保证了在群上的运算具有良好的性质。•群论是研究群的各种结构和性质的理论，具体介绍见各抽象代数或近世代数教材。•李群（LieGroup）：•具有连续（光滑）性质的群。•既是群也是流形。•直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故SO(3)和SE(3)都是李群。•但是，SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限、求导等操作。94.1李群李代数基础•李代数：与李群对应的一种结构，位于向量空间。•通常记作小写的so(3)和se(3)。书中以哥特体突出显示。•事实上是李群单位元处的正切空间。•李代数的引出：•任意旋转矩阵R，满足：104.1李群李代数基础•考虑R随时间的变化，有：•两侧对时间求导：•整理得：114.1李群李代数基础•可以看出这是一个反对称矩阵，记：•两侧右乘R(t)，得•可以看到，对R求导后，左侧多出一个12反对称符号4.1李群李代数基础•考虑简单的情况：•可见反映了一阶导数性质，它位于正切空间（tangentspace）上。•在附近，假设不变，有微分方程：•已知初始情况：𝑅0=𝐼，解之，得：13𝑡0=0,𝑅0=𝐼𝜙𝑡0𝜙4.1李群李代数基础•该式说明，对任意t，都可以找到一个R和一个的对应关系•该关系称为指数映射（ExponentialMap）•这里的称为SO(3)对应的李代数：so(3)•问题：•so(3)的定义和性质？•指数映射如何求？14𝜙𝜙4.1李群李代数基础•李代数（LieAlgebra）：•每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群单位元数的正切空间性质。154.1李群李代数基础•其中二元运算[,]被称为李括号（LieBracket）。•直观上说，李括号表达了两个元素的差异。•例子：三维空间向量+叉积运算构成李代数•李代数so(3)：•其中：16李括号：4.1李群李代数基础•同理，对于李代数se(3)：•se(3)由三个平移分量和三个旋转分量组成•旋转与so(3)相同•平移是普通的向量——但不是SE3上的平移分量！•上尖尖^不再是反对称矩阵，但仍保留记法：17李括号4.1李群李代数基础•请读者验证so(3)和se(3)满足李代数各性质。•注：•不同书籍对se(3)的平移/旋转分量的先后顺序定义不同。这里使用平移在前的方式，也有地方是旋转在前的。•把李代数理解成向量形式或矩阵形式都是可以的。向量形式更加自然一些。184.2指数映射和对数映射194.2指数映射和对数映射•指数映射反映了从李代数到李群的对应关系：•但是是一个矩阵，对于矩阵，如何定义求指数运算？——Taylor展开•由于是向量，定义其角度和模长：•角度乘单位向量：•关于，可以验证以下性质：20𝑅=exp𝜙∧𝜙∧𝜙𝜙=𝜃𝑎𝑎这为化解Taylor展式中的高阶项提供了有效方法4.2指数映射和对数映射•Taylor展开：•最后得到一个似曾相识的结果：214.2指数映射和对数映射•罗德里格斯公式：•这说明so(3)的物理意义就是旋转向量•反之，给定旋转矩阵时，亦能求李代数：•但实际当中没必要这样求，在旋转向量小节已经介绍了矩阵到向量的转换关系•至此，说明了SO(3)与so(3)的对应关系。224.2指数映射和对数映射•se(3)到SE(3)的指数映射：23左上角表示李代数的平移部分到矩阵的平移部分相差一个线性变换，由J给出244.3李代数求导与扰动模型254.3李代数求导与扰动模型•在实际当中，我们经常需要对位姿进行估计•但李群元素只有乘法，无从定义导数：•直观的想法：•能否利用李代数上的加法，定义李群元素的导数？•使用指数映射和对数映射完成变换关系。•基本问题：当在李代数中做加法时，是否等价于在李群上做乘法？264.3李代数求导与扰动模型•在使用标量的情况下，该式明显成立•但这里的为矩阵！•完整形式由BCH（Baker-Campbell-Hausdorff）公式给出：•完整形式非常复杂，见：•部分展开式：（方括号为李括号）27𝜙∧4.3李代数求导与扰动模型•当其中一个量为小量时，忽略其高阶项，BCH具有线性近似形式：•这里的28左乘雅可比右乘雅可比4.3李代数求导与扰动模型•直观写法（以左乘为例）：•在李群上左乘小量时，李代数上的加法相差左雅可比的逆•反之：•李代数上进行小量加法时，相当于李群上左（右）乘一个带左（右）雅可比的量•se(3)上形式更为复杂：29花写雅可比的具体形式参见Barfoot20164.3李代数求导与扰动模型•通过BCH线性近似，可以定义李代数上的导数•考虑一个基本问题：旋转后的点关于旋转的导数•由于R没有加法，导数无从定义•存在两种解决办法：•对R对应的李代数加上小量，求相对于小量的变化率（导数模型）；•对R左乘或右乘一个小量，求相对于小量的李代数的变化率（扰动模型）。30不严谨地记为：4.3李代数求导与扰动模型•导数模型：•按照定义可推得•结果中含有左乘雅可比•比较复杂，能否避免？314.3李代数求导与扰动模型•扰动模型（左乘）•左乘小量，令其李代数为零•最终结果更为简洁•所以更实用324.3李代数求导与扰动模型•SE(3)上的扰动模型334.3李代数求导与扰动模型•小结•利用BCH线性近似，可以推导so(3)和se(3)上的导数和扰动模型•通常情况下，扰动模型形式比较简洁，所以更常用344.4演示：SOPHUS库354.5*相似变换群与李代数36