搜索
1专题训练十二--------几何证明之菱形一1.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAD＝45°，DE⊥BC于点E，交AC于点F，点G是BC的中点，连接FG，过点C作CM⊥CD交FG的延长线于点M．（1）若菱形ABCD的周长为12，求菱形ABCD的面积；（2）求证：CM+2EF＝BC．（1）解：∵菱形ABCD的周长为12，∴BC＝CD＝3，∠BCD＝∠BAD＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE＝CD＝，∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝；（2）证明：连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAF＝∠DAF，AB＝AD＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADF＝90°，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠ABF＝∠ADF＝90°，BF＝DF，∴BF⊥AB，∵CM⊥CD，∴BF∥CM，∴∠GFB＝∠M，∵点G是BC的中点，∴BG＝CG，在△BFG和△CMG中，，∴△BFG≌△CMG（AAS），∴BF＝CM，∴CM＝BF＝DF，∵BF∥CM，∠BCD＝45°，CM⊥CD，∴∠GBF＝∠GCM＝90°﹣45°＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF，∴CM+2EF＝DF+EF+BE＝DE+BE＝BC．22、如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，BC＝2OC，E为BC边上一点.（1）如图1，若CE＝6，∠ACE＝15°，求BC的长；（2）如图2，若F为BO上一点，且BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG，求证：AG=3FG．GFODACEODABCBE图1图2（1）解：如答图1，过点E作EM⊥BC于点M,∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O∴AB=BC,AC=2CO∵BC=2CO∴AB=BC=AC∴∠ACB=∠ABC=60°∵∠ACE=15°∴∠ECB=∠ACB—∠ACE=45°∴CM=EM=22CE=23∴BM=33EM=6∴BC=CM+BM=23+6（2）证明：如答图,2，延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．∵G为CE中点，∴EG＝GC，在△EFG与△CHG中，，△EFG≌△CHG（SAS），∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，∴CH＝BF，CH∥EF，由（1）可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，∴∠HCB＝90°，∠ACH＝∠BCD﹣∠HCB＝120°﹣90°＝30°，∴∠ABF＝∠ACH，在△AFB与△AHC中，△AFB≌△AHC（SAS），∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH∵FG＝GH，∴AG⊥FG，∴∠FAG＝∠HAG∵∠BAC＝∠BAF+∠FAC＝60°，∴∠CAH+∠FAC＝60°，即∠FAH＝60°，∴∠FAG＝∠HAG＝30°，∴OBCADHEFGMEODABC答图1答图233.在菱形ABCD中以B为顶点作等腰△BEF，已知∠EBF+∠ABC＝180°．（1）如图1，当BF与BD重合时，点E在AD边上已知∠A＝30°，AE＝6，求BE的长．（2）如图2，连接AF、CE，BE与AF于点G．若G为AF中点，求证：CE＝2BG．解：（1）如图1，过E点作EM⊥AB于M点，∵在Rt△AME中，∠A＝30°，∴ME＝AE＝×6＝3．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．∴∠ADB＝＝75°．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠ADB＝75°．∴∠ABE＝75°﹣30°＝45°，∴△MEB是等腰直角三角形．∴BE＝ME＝．（2）证法一：延长AB至H点，使得BH＝AB，连接FH．∵G点为AF中点，B点为AH中点∴FH＝2BG．∵∠HBC+∠ABC＝180°，∠EBF+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠EBF．∴∠HBC+∠CBF＝∠EBF+∠CBF，即∠HBF＝∠CBE．在△HBF和△CBE中∴△HBF≌△CBE（SAS）．∴CE＝HF．∴CE＝2BG．证法二：GDACFEHB4证法三：4.在菱形ABCD中,∠C=60°,E为CD边上的点,连接BE.(1)如图1,若E为CD的中点且BE=3,求菱形ABCD的面积;(2)如图2,点F在BC边且DE=CF,连接DF交BE于点M,连接EB并延长至点N,使得BN=DM,求证:AN=DM+BMBDCAEEMDCABNF图1图2解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵DE＝EC，∴BE⊥CD，∴EC＝，∴CD＝2EC＝2，∴菱形ABCD的面积＝CD•BE＝6．（2）证法一：如图2中，连接AM，在MA上截取MH＝MD，连接DH．∵DE＝CF．∠BDE＝∠C，BD＝CD，∴△BDE≌△DCF，∴∠DBE＝∠CDF，∴∠MBF＝∠DBM+∠BDM＝∠CDF+∠BDM＝60°，∴∠DMB＝120°，∵∠DAB+∠DMB＝180°，∴∠ADM+∠ABM＝180°，∵∠ABN+∠ABM＝180°，∴∠ABN＝∠ADM，∵AB＝AD，BN＝DM，∴△ABN≌△ADM，5∴∠DAM＝∠BAN，AM＝AN，∴∠MAN＝∠DAB＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴∠AMB＝∠AMD＝60°，∵MH＝MD，∴△DMN是等边三角形，∴DH＝DM，∠ADB＝∠HDM＝60°，∴∠ADH＝∠BDM，∵AD＝DB，DH＝DM．∴△ADH≌△BDM，∴AH＝BM，∵AM＝AH+HM，∴AN＝AM＝DM+BM．证法二：