矩阵分析ppt课件

矩阵分析东北大学信息科学与工程学院石海彬第一章线性空间与线性变换第二章内积空间第三章矩阵的标准形与若干分解形式第四章矩阵函数及其应用第五章特征值的估计与广义逆矩阵第六章非负矩阵第一章线性空间与线性变换第一章线性空间与线性变换§1线性空间的概念§2基变换与坐标变换§3子空间与维数定理§4线性空间的同构§5线性变换的概念§6线性变换的矩阵表示§7不变子空间QQRCQ第一章线性空间与线性变换1线性空间的概念回顾几个预备概念集合数集有理数集实数集复数集RCQ数域复数集合中的任意非空子集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商仍属于该集合P，则称数集P为一个数域。（注意0和1）有理数域实数域复数域RCCQ第一章线性空间与线性变换1线性空间的概念集合V中元素的运算：我们只考虑加法，加号+数域P中的数与集合V中的元素之间的运算：称为数量乘法，运算结果称为数量乘积，省略乘号,,,,,xyVxyVxuyvxyuv任意有且若则,PxVxV任意数与任意元素有如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合V为数域P上的线性空间或向量空间。元素称为向量。,,,,,PxyzVV任意任意及零元素第一章线性空间与线性变换1线性空间的概念;()();;();1;()();();()xyyxxyzxyzxxxxxxxxxxxxxxyxy交换律结合律零元素负元素单位元交换律分配律分配律八条规则附带性质0;;(1);()xxxxyxy零与零元素数与零元素负数负元素减法运算零向量唯一负元素唯一第一章线性空间与线性变换1线性空间的概念线性空间之例12,,,niVPnP记为,ijijnmVAAaaP记为nmP()(),[,]VftftRtab记为[,]abLV作用在某质点的力xzx第一章线性空间与线性变换1线性空间的概念作用在某质点的所有力的集合构成一个线性空间（向量空间）yxyz,,,...xyz力向量R实数域zx满足八条规则第一章线性空间与线性变换1线性空间的概念有关定义线性相关与线性无关,,,,0xyz不全为零线性相关线性无关n维线性空间有且只有n个线性无关的向量基任何一组n个线性无关的向量。可以有无数组基。基向量通常记作12,,,neee向量x的基表示1122nnxeeei称为坐标或分量第一章线性空间与线性变换2基变换与坐标变换有两组基，分别为1212,,,,,,nneeeeee和其关系为11112121212122221122nnnnnnnnnneaeaeaeeaeaeaeeaeaeae也可写成1,1,2,,nikikkeaein过渡矩阵或称变换矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa基下向量11niiiniiixexe第一章线性空间与线性变换2基变换与坐标变换1111211221222212111122221nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAA坐标之间的关系坐标变换第一章线性空间与线性变换3子空间与维数定理子空间就是线性空间的子集，但得自成线性空间。如何判断W是V的子空间？准则：,;,xyWxyWxWPxW零子空间由单个的零向量组成的子集零维平凡子空间线性空间V本身n维子空间之例,,,,WxxyzPyzV任意给定第一章线性空间与线性变换3子空间与维数定理1212121212121212,,,,,,VVVWVVxxVxVWVVxyxVyVWVVzxyxVyVxyWVV设和为的子空间，有以下结果交集也是子空间；和集也是子空间；直和没有其他的与，也是子空间，记为维数公12121121211212dimdimdim()dim()dim()dimdimdim()dim()dimdimVVVVVVVVVVVVVVVV式：或若是直和，则有第一章线性空间与线性变换3子空间与维数定理子空间的交集是子空间21VVW零向量属于W任取，则，所以Wyx,iVyx,2,1,iVyxi又WxP,iVxWx第一章线性空间与线性变换3子空间与维数定理RbaedVRccVRbabaV,00000,00321四维空间中的三个子空间211VVWRppVVW000312ReqaeqaVVW,,0313RcbacbaVVVVW,,021214第一章线性空间与线性变换4线性空间的同构同构与同构映射()()();()()VVxyxyxxVVVV两个线性空间与之间若有一个对应关系记为，使得=就称为从到的同构映射，称线性空间与是同构的。同构的基本性质miiimiiixxxx11)(),()(,)(线性无关组同构影射到线性无关组n维空间同构影射到n维空间自身中每个向量单位变换映射V第一章线性空间与线性变换5线性变换的概念零向量中每个向量零变换映射V自身中每个向量单位变换映射VxTxTyTxTyxTT;满足线性变换第一章线性空间与线性变换5线性变换的概念.0,0,433,3,,,,44321432144321的线性变换是定义的变换由等式对每个举例RTxTRx第一章线性空间与线性变换5线性变换的概念.)3(.;2;)1(1111组量组变成线性相关向量线性变换把线性相关向）（线性变换的性质mkkkmkkkmkkkmkkkxTxxTyTxyxTxTT第一章线性空间与线性变换5线性变换的概念121212121(2)(3)TTxTxTxTTxTTxTxTx线性变换的运算（）TTTTTTTTTTTOTTTOTTTTTTT1)5(,43212121321321）（乘法对加法的分配律）（律加法满足交换律和结合）（＝）（运算性质第一章线性空间与线性变换5线性变换的概念ISTTS逆变换nVTVTTvVvKnelVTVvTvVT1dimdim/ker/维数关系）核（的维数秩象子空间第一章线性空间与线性变换6线性变换的矩阵表示)3(),,2,1(,,,).(.)(,,)(,)(,,,,,1221122221122122111112122112121nnnnnnnnnninnnnneaeaeaTeeaeaeaTeeaeaeaTeniVTeeeeVVTnPVxTTxgeTgeTgeTTnVgggeeenPV，故可设：中向量都是，则每个的一组基定的一个线性变换。现取是维线性空间，上的是数域设变换和矩阵的关系。下面我们着手研究线性代替用为简单起见，以后我们，使得线性变换一个个向量。则存在唯一的的任意是一组基，又是它的维线性空间，上的一个是数域设定理第一章线性空间与线性变换6线性变换的矩阵表示2212122221112111dimdim)(2.,).)(,,2,1(nPL(V)PnnPVVLVnPeeeTaaaaaaaaaAPanieaTennnnnnnnnnnnkinkkkii推论是同构的。矩阵所构成的线性空间的一切上域的一组基之下，它与数，在取定线性空间的所有线性变换构成的维线性空间上数域定理下的矩阵在基称为线性变换把矩阵形式：个向量等式缩写为如下我们把这第一章线性空间与线性变换6线性变换的矩阵表示ACCBBAVTCVeeeeeenPVVnPeeennn1212121,,,,,,421)3(,,,3，则有与两组基下的矩阵分别是前后的一个线性变换，它在是。又设过渡矩阵是到后一组基的的两组基，从前一组基是及维线性空间，上是数域设定理于逆矩阵。对应矩阵也可逆，且逆变换）可逆线性变换对应的于矩阵的乘积；）线性变换的乘积对应关系，则有：的对应建立的线性变换同矩阵在这组基下按照式的一组基，线性空间上是数域设定理第一章线性空间与线性变换6线性变换的矩阵表示。相似于，则相似于，且相似于）传递性：若相似于，则相似于）对称性：若相似于）自反性：下述三个性质：相似具有似关系是等价关系，即由定义易知，矩阵的相。相似于矩阵则称矩阵使得如果存在可逆矩阵若定义CACBBAABBAAABAACCBPCPBAnnnn321,,,11第一章线性空间与线性变换7不变子空间不变子空间的定义：是不变的。对线性变换也说成是子空间的不变子空间，是则称即都有若对任一的一个子空间。是的一个线性变换，又是线性空间设TWT)(,,零空间及V本身都是T的不变子空间。第一章线性空间与线性变换7不变子空间nennamenmanTenemnaemmamTememmaemamTememaeaTeTVVVnememeeeVVnememeeeVVV.1.11.11.1111111112,1)1(,,1,,,2,121,,1,,2,1,21不变，所以有对的一组基。由于构成的一组基，则向量组与分别是与且如果第一章线性空间与线性变换7不变子空间nnamnanmammaAmmamamaaAAAA1..11.12,1111121这里因此线性变换T在（1）下的矩阵为分块对角矩阵第一章线性空间与线性变换7不变子空间若，又T为V的线性变换，且每个V都对不变，则适当选择基，变换T在此基下的矩阵便为分块对角形：kVVVV21)2(21kAAAAiV第一章线性空间与线性变换7不变子空间若V可分解为k个子空间(i=1,2,…,k)的直和，则存在V的一个线性变换T，使每个都是的T不变子空间，从而T在某组基下的矩阵具有分块对角形(2)的形式。若n维线性空间V可分解维线性变换T的n个一维不变子空间的直和，则T的矩阵可以具有对角形矩阵的形状，对角线上得元素就是线性变换T所对应的矩阵A的特征值，亦称为线性变换T的特征值。iViV