大学物理-机械波习题思考题及答案

习题88-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后6，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。解：根据题意，对于A、B两点，mx2612，，而m242x，m/s12Tu8-2．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为1x处P点的振动式为)cos(tAy，波速为u，求：（1）平面波的波动式；（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?解：（1）设平面波的波动式为0cos[]xyAtu（），则P点的振动式为：10cos[]PxyAtu（），与题设P点的振动式cos()PyAt比较，有：10xu，∴平面波的波动式为：1cos[()]xxyAtu；（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：0cos[]xyAtu（），则P点的振动式为：10cos[]PxyAtu（），与题设P点的振动式cos()PyAt比较，有：10xu，∴平面波的波动式为：1cos[()]xxyAtu。8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为cos(2)yAt，试写出：（1）该平面简谐波的表达式；（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：0cos[2]xyAtu（），则A点的振动式：0cos[2]AlyAtu（）题设A点的振动式cos(2)yAt比较，有：02lu，∴该平面简谐波的表达式为：]2cos[）（uxultAy（2）B点的振动表达式可直接将坐标xdl，代入波动方程：]2cos[]2cos[）（）（udtAuldultAy8-4．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，s31t时的波形如图所示，且周期T为s2。（1）写出O点的振动表达式；（2）写出该波的波动表达式；（3）写出A点的振动表达式；（4）写出A点离O点的距离。解：由图可知：0.1Am，0.4m，而2Ts，则：/0.2/uTms，2T，25k，∴波动方程为：00.1cos(5)ytxO点的振动方程可写成：00.1cos()Oyt由图形可知：s31t时：0.05Oy，有：00.050.1cos()3考虑到此时0Odydt，∴03，53（舍去）那么：（1）O点的振动表达式：0.1cos()3Oyt；（2）波动方程为：0.1cos(5)3ytx；（3）设A点的振动表达式为：0.1cos()AAyt由图形可知：s31t时：0Ay，有：cos()03A考虑到此时0Adydt，∴56A（或76A）∴A点的振动表达式：50.1cos()6Ayt，或70.1cos()6Ayt；（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：0.1cos(5)3AAytx，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：5563Attx，所以：mxA233.0307。8-5．一平面简谐波以速度m/s8.0u沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距m1的两点之间的位相差。解：这是一个振动图像！由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：30510cos()Oyt。（1）当0t时，302.510Oty，考虑到：00Otdydt，有：03，当1t时，10Oty，考虑到：10Otdydt，有：32，56，∴原点的振动表达式：35510cos()63Oyt；（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：35510cos()63ytkx而512460.825ku，∴3524510cos()6253ytx；（3）位相差：2523.2724xkxrad。8-6．一正弦形式空气波沿直径为cm14的圆柱形管行进，波的平均强度为39.010/()Jsm，频率为Hz300，波速为m/s300。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均强度为：39.010I/()Jsm，由Iwu有：3539.010310/300IwJmu53max2610/wwJm；（2）由WwV，∴221144uWwdwd5327310/(0.14)14.62104JmmmJ。8-7．一弹性波在媒质中传播的速度310/ums，振幅41.010Am，频率310Hz。若该媒质的密度为3800/kgm，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积24m100.4S的总能量。解：（1）由：2212IuA，有：34232110800102102I（）（）521.5810/Wm；（2）1分钟为60秒，通过面积24m100.4S的总能量为：WISt5431.5810410603.7910J。8-8．1S与2S为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为4/5d，2S质点的振动比1S超前2，设1S的振动方程为tTAy2cos10，且媒质无吸收，（1）写出1S与2S之间的合成波动方程；（2）分别写出1S与2S左、右侧的合成波动方程。解：（1）如图，以1S为原点，有振动方程：tTAy2cos10，则波源1S在右侧产生的行波方程为：122cos()yAtxT，由于2S质点的振动比1S超前2，∴2S的振动方程为202cos()2yAtT，设以1S为原点，波源2S在其左侧产生的行波方程为：222cos()yAtxT，由于波源2S的坐标为5/4，代入可得振动方程：20225cos()4yAtT，与202cos()2yAtT比较，有：2。1Sx2S∴22222cos(2)cos()yAtxAtxTT。可见，在1S与2S之间的任一点x处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成波为：tTxAyyy2cos2cos221，为驻波；（2）∵波源1S在左侧产生的行波方程为：122'cos()yAtxT，与222cos()yAtxT叠加，有：1222'2cosyyyAtxT左（）；（3）设波源2S在其右侧产生的行波方程为：222'cos(')yAtxT，代入波源2S的坐标为5/4，可得振动方程：20225'cos(')4yAtT，与20202'cos()2yyAtT比较，有：'3。∴22222'cos(3)cos()yAtxAtxTT。与122cos()yAtxT叠加，有：12'0yyy右。表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。8-9．设1S与2S为两个相干波源，相距41波长，1S比2S的位相超前2。若两波在在1S、2S连线方向上的强度相同且不随距离变化，问1S、2S连线上在1S外侧各点的合成波的强度如何？又在2S外侧各点的强度如何？解：（1）如图，1S、2S连线上在1S外侧，∵212122()24rr，∴两波反相，合成波强度为0；（2）如图，1S、2S连线上在2S外侧，∵212122('')()024rr，∴两波同相，合成波的振幅为2A，1r1S2S2r1S2S2'r1'r合成波的强度为：220(2)44IAAI。8-10．测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率，量度相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。试证：du2。证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2x，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距离d，所以：2d，那么：2d，所以波速为：2ud。8-11．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位置为cm65.1的第二位置时，有极大值900单位。求：（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2x，相邻波节与波腹的间距：4x，可得：46.6xcm。（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：234051516.610uHz（）。（2）∵2IA，2min12()IAA，2max12()IAA，依题意有：212212()100()900AAAA122010AA，那么1221AA。8-12．绳索上的波以波速m/s25v传播，若绳的两端固定，相距m2，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为m1.0，0t时绳上各点均经过平衡位置。试写出：（1）驻波的表示式；（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：2x，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，422x，则：422d，波长：1m，又∵波速25/ums，∴250uHz（）。又已知驻波振幅为m1.0，0t时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为2，关于时间部分的余弦函数应为cos502t（），所以驻波方程为：0.1cos2cos502yxt（）；（2）由合成波的形式为：1222coscos2xyyyAt，可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：10.05cos502ytx（）20.05cos502ytx（）。8-13．如图所示，三个频率相同，振动方向相同（垂直纸面）的简谐波，在传播过程中在O点相遇；若三个简谐波各自单独在S1、S2和S3的振动方程分别为)21cos(1tAy，tAycos2和)21cos(23tAy；且42OS，531OSOS(为波长)，求O点的合振动方程（设传播过程中各波振幅不变）S1S2S3OASV解：每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O点的振动方程可写成)21cos(11tAytAycos22)π21cos(33tAy其中AAA21，AA23．在O点，三个振动叠加．利用振幅矢量图及多边形加法（如图）可得合振动方程)41cos(2tAy答案：)41cos(2tAy。8-14．试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度sv向墙壁接近（如图所示），观察者在A点听得拍音的频率为3Hz，求波源移动的速度sv，设声速为340/ms。解：根据观察者不动，波源运动，即：0Su，0Ru，观察者认为接受到的波数变了：0Suuu，其中340u，2043，02040，分别代入，可得：0.5/Sums。8-15．如图所示，观察者A与点波源S都静止，而反射面以速度V=0.20米/秒向观察