1.4《柱坐标与球坐标系简介》ppt课件

1．4柱坐标系与球坐标系简介学习目标预习导学典例精析栏目链接1．了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法．2．了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式，体会它们的区别．学习目标预习导学典例精析栏目链接题型一柱坐标、球坐标的确定学习目标预习导学典例精析栏目链接例1已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，如右图所示，建立空间直角坐标系Axyz，以Ax为极轴．(1)求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．(2)求点C的和点D的直角坐标、柱坐标以及球坐标．学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：利用点的直角坐标、柱坐标以及球坐标的转化公式，结合图形运用方程求解．解析：(1)点C1的直角坐标为(1，1，1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ得ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0）及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr.学习目标预习导学典例精析栏目链接∴ρ＝2，tanθ＝1及r＝3，cosφ＝33.结合图得θ＝π4，由cosφ＝33得tanφ＝2.∴点C1的直角坐标为(1，1，1)柱坐标为2，π4，1，球坐标为3，φ，π4，其中tanφ＝2，0≤φ≤π.(2)同理可求得点C的直角坐标为(1，1，0)，柱坐标为2，π4，0，球坐标为2，π2，π4，点D的直角坐标为(0，1，0)，柱坐标为1，π2，0，球坐标为1，π2，π2.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：将点M的直角坐标(x，y，z)化为柱坐标(ρ，θ，z)或球坐标(r，φ，θ)，需要对公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z及x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ进行逆向变换，得到ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx（x≠0），z＝z及r＝x2＋y2＋z2，cosφ＝zr.在用三角函数值求角时，要结合图形确定角的取值范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的取值范围即可．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练1．如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长AB＝6，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：本题考查空间直角坐标、柱坐标、球坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找出它们的相同和不同来．解析：如题图所示，点C1的(x，y，z)分别对应着CD、BC、CC1，点C1的(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠BAC、CC1，点C1的(r，φ，θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.所以点C1的空间直角坐标为(63，6，12)，点C1的柱坐标为12，π6，12，点C1的球坐标为(122，π4，π6)．题型二柱、球坐标与直角坐标的互化学习目标预习导学典例精析栏目链接例2根据下列点的柱坐标分别求其直角坐标．(1)2，5π6，3；(2)6，5π3，－2分析：根据公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθz＝z计算即可．解析：设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(ρ，θ，z)＝2，5π6，3，学习目标预习导学典例精析栏目链接∴x＝ρcosθ＝2cos5π6，y＝ρsinθ＝2sin5π6，z＝3，即x＝－3，y＝1，z＝3.∴点2，5π6，3的直角坐标为(－3，1，3)．(2)∵(ρ，θ，z)＝6，5π3，－2，∴x＝ρcosθ＝6cos5π3＝3，y＝ρsinθ＝6sin5π3＝－33，z＝－2.∴点6，5π3，－2的直角坐标为(3，－33，－2)．学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：根据柱坐标系与点的柱坐标意义，(ρ，θ，z)这一直角坐标系中的点的坐标，在平面Oxy内实际为极坐标系，且ρ≥0.0≤θ＜2π，在竖直方向上，z为任意实数，把点的柱坐标(ρ，θ，z)化为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z转化为三角函数的求值与运算即可．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练2．已知点M的柱坐标为2，π4，3，点N的球坐标为2，π4，π2，求MN的中点的直角坐标及MN的长度．学习目标预习导学典例精析栏目链接分析：先把点M，N的坐标化为直角坐标，按直角坐标求MN的长度．解析：∵点M的柱坐标为2，π4，3，根据柱坐标与直角坐标的互化公式，得x＝2·cosπ4＝1，y＝2sinπ4＝1，z＝3.∴点M的直角坐标为(1，1，3)．学习目标预习导学典例精析栏目链接∵点N的球坐标为2，π4，π2，根据球坐标与直角坐标的互化公式，得x＝2sinπ4cosπ2＝0，y＝2sinπ2sinπ4＝1，z＝2cosπ4＝1.∴点N的直角坐标为(0，1，1)．∴MN的中点坐标为12，1，2.在直角坐标系中，由两点间的距离公式得MN的长度为|MN|＝（1－0）2＋（1－1）2＋（3－1）2＝5.学习目标预习导学典例精析栏目链接例3根据下列点的球坐标分别求其直角坐标．(1)2，3π4，5π4；(2)6.π3，2π3.分析：根据公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ计算即可．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)∵(r，φ，θ)＝2，3π4，5π4，∴x＝rsinφcosθ＝2sin3π4cos5π4＝－1，y＝rsinφsinθ＝2sin3π4sin5π4＝－1，z＝rcosφ＝2cos3π4＝－2.∴点2，3π4，5π4的直角坐标为(－1，－1，－2)．学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)∵(r，φ，θ)＝6，π3，2π3，∴x＝rsinφcosθ＝6sinπ3cos2π3＝－332，y＝rsinφsinθ＝6sinπ3sin2π3＝92，z＝rcosφ＝6cosπ3＝3.∴点6.π3，2π3的直角坐标为－332，92，3.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与坐标轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π，化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ转化为三角函数的求值与运算即可．学习目标预习导学典例精析栏目链接例4设点M的直角坐标为(1，1，3)，求它的柱坐标．分析：利用空间直角坐标与柱坐标的变换公式．解析：由变换公式，得ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，ρ＝2，tanθ＝yx＝11＝1，θ＝π4(点M在第1卦限)．因此点M的柱坐标为2，π4，3.点评：要注意点M所在的卦限，从而确定θ角的范围．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练3．设点M的直角坐标为(1，1，2)，求它的球坐标．分析：利用球坐标公式求解．解析：由坐标变换公式，可得r＝x2＋y2＋z2＝12＋12＋（2）2＝2，由rcosφ＝z，得cosφ＝2r＝22，φ＝π4.又tanθ＝yx＝1，θ＝π4(点M在第1卦限)，故点M的球坐标为2，π4，π4.点评：要注意φ角、θ角的取值范围．学习目标预习导学典例精析栏目链接析疑难提能力学习目标预习导学典例精析栏目链接例已知点M的柱坐标为2，π4，1，求点M关于原点O的对称点的柱坐标．错解：根据点的位置及对称的定义直接确定柱坐标为2，5π4，1.分析：先求出点的直角坐标，再转化为极坐标．正解一：M2，π4，1的直角坐标为：x＝2·cosπ4＝1，y＝2·sinπ4＝1，z＝1，学习目标预习导学典例精析栏目链接∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，则ρ＝x2＋y2＝2，tanθ＝yx＝1，z＝－1，∴M关于原点O的对称点的柱坐标为2，5π4，－1.正解二：可根据点的位置及对称的定义直接确定柱坐标为2，5π4，－1.学习目标预习导学典例精析栏目链接易错点：用坐标表示点时，因忽略在哪种坐标系中导致判断错误【易错点解析】空间直角坐标系中，点M(x，y，z)关于原点O的对称点的坐标为(－x，－y，－z)．