1、(本题10分)电荷Q均匀分布在半径为R的球体内.设无穷远解读

1、（本题10分）电荷Q均匀分布在半径为R的球体内．设无穷远处为电势零点，试证明：距离球心r(r＜R)处的电势为302283RrRQU解：根据高斯定理有：20304,4rQERrRQrER，r根据电势定义lEd即302220308344RrRQdrrQdrRQrldEURRrr2、（本题10分）长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行．矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c(如图)．当直导线中通有电流I=I0sint时，求：1、矩形线圈中的感应电动势；2、长直导线与矩形线圈间的互感系数。解：1、长直导线中通有电流I=I0sint，则空间的磁场分布为)2/(0rIBπ2分穿过矩形线圈的磁通为accrbrISBd12d0cacbIln20π3分矩形线圈中感应电动势为tddtcacbIcosln200π2分2、互感系数IM/cacbln20π3分3、（本题10分）在双缝干涉实验中，波长＝550nm的单色平行光垂直入射到缝间距a＝2.0×10-4m的双缝上，屏到双缝的距离D＝2.0m．求：(1)中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；(2)用一厚度为e＝6.6×10-6m、折射率为n＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1nm=10-9m)解：(1)x＝20D/a2分＝0.11m2分(2)覆盖云玻璃后，零级明纹应满足(n－1)e＋r1＝r2设不盖玻璃片时，此点为第k级明纹，则应有r2－r1＝kabcI所以(n－1)e=k4分k＝(n－1)e/＝6.96≈7零级明纹移到原第7级明纹处2分4．（本题10分）长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行．矩形线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c(如图)．当长直导线中通有电流tIIsin01时，求矩形线圈中的感应电动势．解：若长直导线中通有变化的电流tIIsin01，由安培环路定律可得空间的磁场分布为)2/(10rIB．3分穿过矩形线圈的磁通为accrbrISBd12d10cacbIln210π4分由法拉第电磁感应定律可得矩形回路中的感应电动势为：taacbIdtdcosln200π3分5．（本题15分）一内半径为a，外半径为b的均匀带电圆环，绕过环心O且与环平面垂直的轴线以角速度ω逆时针方向旋转，如图。环上所带电量为＋Ｑ，求环心O处的磁感应强度。【解】该圆环的面电荷密度)(22abQ在圆环上取半径为ｒ，长为dr的小圆环，如图例6-3图解：其带电量：rdrdq2当带电圆环旋转时，产生圆形电流：rdrdI2该圆形电流在O点处产生的磁感应强度大小：drrdIdB00212方向：垂直纸面向外。环心O处的磁感应强度)(2)(2121000baQabdrBba方向：垂直纸面向外。6．如图，在长直电流近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平行和垂直于长直导线。线圈长度为l，宽为b，近边距长直导线距离为a，长直导线中通有abc0drr0b+Qa电流I。当矩形线圈中通有电流1I时，求：（1）矩形线圈每边所受磁力的大小和方向；（2）矩形线圈所受的合力和合力矩。解：线圈AB边受力为laIILIBF210111方向向左；线圈BC边受的力为)(210122balIIlIBF方向向右；线圈AB边受的力为abaIIdrrIIdrBIFbaabaaln22101013方向向上；同理CD边受的力为abaIIFFln21034方向向下。线圈上下两边受的磁力大小相等方向相反。因此线圈受的磁力的合力为)(21021baalbIIFFF方向向左，即指向长直电流。由于线圈各边受力共面，所以它受的力矩为零。B卷1．一无限长圆柱形导体（磁导率为0），半径为R，通有均匀分布的电流I，今取一矩形平面S（长为m1，宽为R2），位置如图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量。1．解：由安培环路定理可求得在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r处的磁感应强度为：rRIB202（Rr）因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通量1为：420201IrdrRIBdSSdB在圆形导体外，与导体中心轴线相距r处的磁感应强度为：)(20RrrIB因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通量2为：2ln220202IdrrISdBRR穿过整个平面的磁通量为：2ln240021II2．如图，在长直电流近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平行和垂直于长直导线。线圈长度为l，宽为b，近边距长直导线距离为a，长直导线中通有电流I。当矩形线圈中通有电流1I时，求：（1）矩形线圈每边所受磁力的大小和方向；（2）矩形线圈所受的合力和合力矩。解：线圈AB边受力为laIILIBF210111方向向左；线圈BC边受的力为)(210122balIIlIBF方向向右；线圈AB边受的力为abaIIdrrIIdrBIFbaabaaln22101013方向向上；同理CD边受的力为abaIIFFln21034方向向下。线圈上下两边受的磁力大小相等方向相反。因此线圈受的磁力的合力为)(21021baalbIIFFF方向向左，即指向长直电流。由于线圈各边受力共面，所以它受的力矩为零。3.一长直导线AB通以电流20I安培,其旁置一导线ab,如下左图所示。设ab长为9cm,a端距离直导线AB为cm1，通以电流201I安培.求:当ab与AB成o60角时,ab所受的力.4．已知某一维平面简谐波的周期sT3105.2，振幅,100.12mA波长m0.1，沿x轴正向传播。求：（设0t时，0x处质点在正的最大位移处）（1）此波的波函数；（2）2Tt时刻，4x处质点的振动速度解：（1）0t时，在0x处质点的振动方程为))(2cos()02cos(0mTtATtAy在x轴上任取一点P，坐标为x，其振动方程为)(2cosxTtAypP点是任选的一点，所以波函数为))(400(2cos100.1)(2cos2mxtxTtAy（2）在4x处的质点的振动方程为A1cmBI9cmab（第3题）tty800sin100.1)2800cos(100.122当sTt31025.12质点的速度：)(8800cos8smtdtdyv5．一简谐波，振动周期T=0.5s，波长λ=10m，振幅A=0.1m。当t=0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合，且波沿OX轴正方向传播，求：（1）此波的波函数；（2）2Tt时刻，4x处质点的振动速度。解：（1）0t时，波源的振动方程为))(2cos()02cos(0mTtATtAy在x轴上任取一点P，坐标为x，其振动方程为)(2cosxTtAypP点是任选的一点，所以波函数为))(102(2cos1.0)(2cosmxtxTtAy（2）在4x处的质点的振动方程为))(24cos(1.0mty当sTt25.02质点的速度：)(4.04cos4.0smtdtdyv6.物体m1m2，滑轮（R，M）。阻力矩Mf，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。求重物的加速度及绳中张力7.图示为一简谐波在t=0时的波形图，波速u=20m/s。写出P、Q处质点的振动方程。【解】设波动方程为：)cos(kxtAy由图知：)/(240,20.0sradummA且t=0时，x=0处的质点y=0，沿y轴负向运动，故：20os波动方程为：P点处质点x=20mQ处质点x=30mm1m2解：amTgm111amgmT222JRTRTMf21Raat2/)(2121Mmmgmma221MRJgMmmMmmmT2/212212212gMmmMmmmT2/21221121100.203020QPy(m)ux(m))2cos(2.0ty)cos(2.0ty)220cos(2.0xty8.一平面简谐纵波在线圈弹簧中沿x轴正向传播，已知弹簧某圈的最大位移为cm0.3，频率为Hz25。弹簧两疏部中心距24cm。当0t时，在0x处质元的位移为0，并向x轴正向运动，写出该波的波函数。答案：9.平面谐波沿x轴正向传播，振幅cmA2，频率Hz50，波速smu/200。在0t时0x处质点在平衡位置并向y轴正向运动，求mx4处质点的振动方程及该处st2时的振动速度。答案：10．如图所示，平面简谐波向右移动速度u=0.08m/s，求：①.振源的振动方程；②.波函数；③.P点的振动方程；④.a、b两点振动方向。解：①.振源t=0时，o点处的质点向y轴负向运动振源的振动方程②.波函数③.P点的振动方程))(2/33/2550cos(1032SIxt))(2/3100cos(1022SItsm/28.6oyxuabPm2.0m04.0)cos(tAy2.02m4.0uT/T/2/2u4.0/08.025/22/252cos04.0ty208.052cos04.0xtyPxm4.02552cos04.0ty208.04.052cos04.0ty