算符的运算规则

3.2算符的运算规则3.2.1算符的定义所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。若某种运算把函数变为，记作F则表示这种运算的符号就称为算符。F如果算符作用于一个函数，结果等于乘上一个常数，记为FF则为的本征值，为的本征函数，上述方程称为的本征方程。FFF（3.2.1）3.2算符的运算规则其中、为任意函数，、为常数，则称为线性算符。若算符满足：11221122()FcccFcF（3.2.2）121c2cF（3.2.3）若算符满足：I为任意函数，则称为单位算符。I3.2算符的运算规则3.2.2算符的运算规则为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律算符之和ABABABBA（3.2.4）ABCABC显然，线性算符之和仍为线性算符。算符之积()()ABAB注：一般情形ABBA（3.2.5）（3.2.6）;xAxBpix比方，取则3.2算符的运算规则xxpixx()xpxixiixxx但()xxxppxi因此（3.2.7）从（3.2.8）可见，xxxppxxxxppxi由于是任意函数，从(3.2.7)式得（3.2.8）3.2算符的运算规则记和之差为,ABABBAABBA（3.2.9）称为算符，的对易关系或对易子。AB式（3.2.8）可记为,xxpi若算符和的对易子为零，则称算符和对易。ABABˆˆˆˆ[,][,]ABBAˆˆ[,]0AAˆ[,]0(isconstant)ACC利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式3.2算符的运算规则ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCABACˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ABCABCBACˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]BCABACBCAˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0ABCBCACAB最后一式称为雅可比恒等式。（3.2.10）作为例子，我们讨论角动量算符LrpˆˆxzyLypzpiyzzyˆˆyxzLzpxpizxxzˆˆzyxLxpypixyyx（3.2.11）上式中，，=1,2,3表示相应的分量，成为列维-斯维塔记号，满足1231任意两个下脚标相同，则为零。（3.2.14）3.2算符的运算规则（3.2.12）它们和坐标算符的对易子是[,]0,[,],[,]xxxLxLyizLziy[,],[,]0,[,]yyyLxizLyLzix[,],[,],[,]0zzzLxiyLyixLz[,]Lxix（3.2.12）式可表示为（3.2.13）3.2算符的运算规则同理可得[,]Lpip[,]LLiL（3.2.16）（3.2.15）LLiL式中不为零的等式也可写成（3.2.17）[,]xpi坐标和动量的对易子可写为（3.2.18）其中10（3.2.19）3.2算符的运算规则（3.2.20）角动量算符的平方是：2222xyzLLLL（3.2.21）则222,,,0xyzLLLLLL（3.2.22）在球坐标系下sincossinsincosxryrzr（3.2.23）则222cosrxyzzrytgx3.2算符的运算规则（3.2.24）sincosrxxr将r两边对x求偏导，得（3.2.25）211coscossinzrxxrr将两边对x求偏导，得：coszr（3.2.26）221sinsinsecyxrx再将两边对x求偏导，得：ytgx利用这些关系式可求得：11sinsincoscoscossinrxxrxxrrr（3.2.27）3.2算符的运算规则（3.2.28）=11cossinsincossinsinryyryyrrr同理可得：=1cossinrzzrzzrr（3.2.29）（3.2.30）(sincos)xLictg(cossin)yLictgzLi（3.2.31）（3.2.32）则角动量算符可表示为：3.2算符的运算规则（3.2.34）[phone][cos2sincossinsin(csc)sincos]yLctgctgctgctg（3.2.35）2222zL（3.2.33）[phone][sin2sincoscoscos(csc)sincos]xLctgctgctgctg由此可得：（3.2.36）2=-222222211[(sin)]sinsinxyzLLLL所以3.2算符的运算规则则的本征方程可写为：（3.2.37）2L22211[(sin)](,)(,)sinsinYY（3.2.39）（3.2.38）在数理方法中已讨论过，必须有：(1)ll可解得：(,)(1)(cos),1,,mmimlmlmlYNPemlll为归一化系数，为连带勒让得多项式。lmN(cos)mlP22(,)(1)(,)lmlmLYllY所以（3.2.40）因为表示角动量太小，所以称为角动量量子数，称为磁量子数。lm3.2算符的运算规则对应于一个的值，可以取个值，因而对于的一个本征值，有个不同的本征函数。我们把对应于一个本征只有一个以上的本征函数的情况叫简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。的本征值是度简并的。l(21)l2L2(1)ll(21)llmY2L(21)l（3.2.41）同理：(,)(,)zlmlmLYmY即在态中，体系的角动量在轴方向投影为lmYzzLm一般称的态为态，的态依次为态。0ls1,2,3l,,pdfxy3.2算符的运算规则现在考虑角动量算符的物理意义。设体系绕轴滚动角并以算符变换表示：，z()zR()()RzrRryx()zR（3.2.42）当，即在无穷小转动下，对做泰勒展开，准确到一级项有1()Rr()1()RzirLr3.2算符的运算规则因此，状态在空间转动后变为另一状态，它等于某个变换算符作用于原来态上的结果，而该变换算符，特别在无穷小转动下，，角动量算符纯粹反映空间转动的特征，又称角动量算符为空间转动无穷小算符，从而角动量反映着空间转动变化的特性。()r()Rr()ziaLzRe()1zziRL3.2算符的运算规则算符的乘幂算符的次乘幂定义为AnnAAAA（3.2.20）算符的函数()0(0)()!nnnFFAAn（3.2.21）且能从上式唯一的解出来，则定义算符的逆算符为算符的逆A1A1A若算符满足AA（3.2.22）3.2算符的运算规则并非所有的算符都有逆算符存在。但若存在，则必有1A11AAAAI1[,]0AA（3.2.23）