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《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第1页共16页第七章l-矩阵Ⅰ.授课题目§7.1l-矩阵§7.2l-矩阵的标准形§7.3矩阵相似的条件§7.4Jordan标准形与有理标准形Ⅱ.教学目的与要求1.能用初等变换求l-矩阵的不变因子和初等因子；2.理解矩阵相似的条件；3.能求矩阵的Jordan标准形和有理标准形.Ⅲ.重点与难点重点:不变因子、初等因子的概念与求法，矩阵相似的条件，Jordan标准形和有理标准形的求法；难点:矩阵的Jordan标准形和有理标准形的求法.Ⅳ.教学内容§7.1l-矩阵1.l-矩阵定义7.1数域P上以文字l的一元多项式为元素的矩阵称为l-矩阵，通常用符号()(),ABll等表示.l-矩阵的元素也可以是数.l-矩阵的相等、加法、乘法同数矩阵完全一样，而且也满足相同的运算规则.数矩阵的子式、代数余子式以及方阵的行列式的概念也适用于l-矩阵.定义7.2设()Al是一个l-矩阵，如果存在一个()1rr≥阶子式不为零，而所有1r+阶子式（如果存在的话）全为零，那么称()Al的秩为r.规定零矩阵的秩是零.定义7.3设()Al是一个n阶l-矩阵，如果存在一个n阶l-矩阵()Bl使得()()()()ABBAIllll==，则称()Al是可逆阵，并把()Bl叫做它的逆矩阵.可逆阵()Al的逆矩阵是唯一的，通常记作()1Al-.定理7.1设()Al是一个n阶l-矩阵，那么()Al可逆的充分必要条件是()Al的行列式()Al是一个非零的数，并且当()Al可逆时，《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第2页共16页()()()1*1AAAlll-=.2.l-矩阵的初等变换定义7.4下列三种变换称为l-矩阵的初等行（列）变换：（1）交换两行（列）的位置，交换第,ij两行（列），记作()ijijrrcc↔↔；（2）用非零数k乘某一行（列），以非零数k乘第i行（列），记作()iikrkc；（3）把某一行（列）的()jl倍加到另一行（列）上，()jl是一个多项式，把第第j行（列）的()jl倍加到第i行（列）上，记作()()()ijijrrccjljl++.l-矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.与数矩阵一样，l-矩阵的初等变换不改变它的秩.定义7.5如果l-矩阵()Al可以经过一系列初等变换化成l-矩阵()Bl，则称两个l-矩阵()(),ABll等价.l-矩阵的等价关系具有如下性质：（1）反身性（2）对称性（3）传递性与数矩阵相同可以引进l-矩阵的初等矩阵.比如，将单位矩阵的第j行的()jl倍加到第i行上得()()()11,11ijiEijjjlj⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠OLOMOO列列行行同样地，对一个l-矩阵()Al施行一次初等行（列）变换，相当于在()Al的左（右）边乘上相应的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有()()()()()()()()()()1111,,,,,,EijEijEikEikEijEijjj----===-.定理7.2设()(),ABll是两个mn×的l-矩阵，若()Al与()Bl等价，则存在m阶与n阶《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第3页共16页可逆方阵()(),PQll使得()()()()APBQllll=.练习1.求下列l-矩阵的秩（1）()2212110221Alllllllll⎛⎞+-⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟+++-⎝⎠；（2）()212110100Blllll⎛⎞+-⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠.2.问方阵()22111143Allllll⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵.3.求下列l-矩阵的秩和各阶子式的最大公因式（1）()2100010011Alll⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟-⎝⎠；（2）()221210242Bllllllll-⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟+-⎝⎠.§7.2l-矩阵的标准形1.l-矩阵的标准形定理7.3任意一个sn×非零l-矩阵()Al都等价于一个对角形矩阵()()()1200rdddlll⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠OOO，(*)其中1r≥，()()1,2,,idirl=⋅⋅⋅都是首项系数为1的多项式，且()()()1|1,2,,1iiddirll+=⋅⋅⋅-.证明从略.我们称矩阵(*)为()Al的标准形.《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第4页共16页例7.1用初等变换化l-矩阵()222212111Alllllllllll--⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟++--⎝⎠为标准形.练习用初等变换化l-矩阵()2222200101101110Allllllllllllll⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟-++⎜⎟-⎝⎠为标准形.答()2100000000000000000Allll⎛⎞⎜⎟⎜⎟→⎜⎟-⎜⎟⎝⎠.定理7.4任意一个l-矩阵的标准形是唯一的.2.l-矩阵的不变因子定义7.6设l-矩阵()Al的秩为r，()Al中全部()1kkr≤≤阶子式的首项系数为1的最大公因式()kDl称为()Al的k阶行列式因子.定理7.5等价的l-矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子.往后，我们可以利用初等变换先求l-矩阵()Al标准形，从而求得它的行列式因子.定义7.7l-矩阵()Al的标准形的主对角线上的非零元素()()()12,,rdddlll⋅⋅⋅称为()Al的不变因子.例7.2求l-矩阵()()01001002Allllll-⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟-+⎝⎠的不变因子.定理7.6两个l-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第5页共16页例7.3设()Al是一个n阶l-矩阵，则下列命题等价：（1）()Al是可逆阵；（2）()Al与单位阵I等价；（3）()Al可以表示成若干个初等矩阵的乘积.§7.3矩阵相似的条件1.矩阵相似的条件在求一个n阶矩阵A的特征值和特征向量时出现过的l-矩阵IAl-，称之为矩阵A的特征矩阵.本节主要证明两个数字矩阵相似的充分必要条件是它们的特征矩阵等价.引理1设,AB是两个n阶数字矩阵，如果存在两个n阶数字矩阵00,PQ，使得()00IAPIBQll-=-，则A与B相似.我们注意到，l-矩阵可以表示成系数为数字矩阵的关于l的多项式，常称其为矩阵多项式.比如221002101200101111lllll-⎛⎞+-⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟--⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠.引理2对任何不为零的n阶数字矩阵A和l-矩阵()(),UVll，一定存在l-矩阵()(),QRll和数字矩阵00,UV，使得()()()0UIAQUlll=-+，()()()0VRIAVlll=-+.定理7.7设,AB是数域P上的两个n阶数字矩阵，则,AB相似的充分必要条件是它们的特征矩阵IAl-与IBl-等价.为叙述方便，我们称矩阵A的特征矩阵IAl-的不变因子为矩阵A的不变因子.由于IAl-是关于l的n次多项式，因而()RIAnl-=，即IAl-是一个满秩矩阵，注意，IAl-不是一个可逆矩阵.由定理7.6，定理7.7可得推论设,AB复数域上的两个n阶数字矩阵，则,AB相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子.《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第6页共16页2.初等因子定义7.7设A是复数域上的n阶矩阵（s是复数域上的线性空间的一个线性变换），如果把A（或s）的每一个次数大于零的不变因子分解成两两不同的一次因式的方幂的乘积，那么称所有这些一次因式方幂（相同的一次因式方幂按出现的次数计算）为A（或s）的初等因子.注初等因子是每一个不变因子不可约因式的方幂的全体，有几个算几个，相同的不可以去掉.例7.4设12阶矩阵的不变因子是()()()()()()2222291,1,,1,1,11,111llllll⋅⋅⋅--+-++123个.按定义，它的初等因子有7个，即()()()()()222221,1,1,1,1,i,illlllll---++-+，其中()21l-出现3次，()1l+出现2次.定理7.8两个同阶矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.定理7.9用初等变换把特征矩阵IAl-化成对角形，再将主对角线上的非零元分解成一次不可约因式方幂的乘积，则所有这些一次因子的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的所以初等因子.例7.5设A是7阶复矩阵，A的全部初等因子为：()2,,1,1,1,2llllll--++，求A的不变因子.分析前面已经说了，A的特征矩阵IAl-是秩是n，因此，求n阶方阵的全部初等因子按下述方法排成n列表：不同因子排在不同行，相同的一次因式排在同一行，且按降幂排成n列，不足n个的在后面用1补足，这样，第i列上各因式的乘积就得到第i个不变因子()()1,2,,idinl=⋅⋅⋅.解A的初等因子有4个不同的因式，将所有初等因子排成4行7列：()211111111111111111112111111llllll--++于是，得到A的7个不变因子：()()()()()()()()215671,1,112ddddllllllllll=⋅⋅⋅===-=-++.练习设()Al是一个5阶方阵，其秩为4，初等因子是()322,,,1,1,1,1lllllll--++，求()Al的标准形.《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第7页共16页例7.6设特征矩阵00001000010000IAlllll⎛⎞⎜⎟-⎜⎟-=⎜⎟+⎜⎟⎝⎠.（1）求A的所有初等因子；（2）求A的所有不变因子，并求特征矩阵IAl-的标准形.例7.7设l-矩阵()()2222000002002002000Alllllll⎛⎞⎜⎟-⎜⎟=⎜⎟-⎜⎟⎜⎟-⎝⎠.（1）求()Al的所有初等因子；（2）求()Al的所有不变因子；（3）写出()Al的标准形.§7.4Jordan标准形与有理标准形1.Jordan标准形例7.8证明Jordan块()00001,1ttJtllll×⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠OO的初等因子是()0tll-.设12sJJJJ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O，是Jordan形矩阵，其中《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第8页共16页()11,2,,1iiiiiinnJislll×⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⋅⋅⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠OO.既然iJ初等因子是()()1,2,,iniisll-=⋅⋅⋅，由定理7.8知iniIJl-等价于对角形diag()()1,1,,1,inill⋅⋅⋅-.因此，IJl-等价于对角形diag()()()()12121,,1,,1,,1,,,1,,1,snnnsllllll⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-.故Jordan形矩阵J的全部初等因子是()()()1212,,,snnnsllllll--⋅⋅⋅-.定理7.10复数域上每一个n阶数字矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似，如果不计Jordan块的排列次序，这个Jordan形矩阵被A唯一决定，称之为A的Jordan标准形.证设n阶数字矩阵A的初等因子为()()()1212,,,snnnsllllll--⋅⋅⋅-.（*）每一个初等因子()inill-对应一个Jordan块()11,2,,1iiiiiinnJislll×⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⋅⋅⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠OO.这些Jordan块构成一个Jordan形矩阵12sJJJJ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O.而Jordan形矩阵J的初等因子也是（*），它们有相同的初等因子，因而相似.如果另有一个Jordan形矩阵J′与A，那么J′与A有相同的初等因子，因此J与J′除了Jordan块的排列次序外是相同的.证毕.例7.9在例7.4中12阶矩阵的Jordan标准形是《高等代数》教案-7-第7章l-矩阵第9页共16页121210111011101111i01ii01i×⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟-⎜⎟-⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠.例7.10求矩阵126103114A--⎛⎞⎜⎟=-⎜⎟⎜⎟--⎝⎠的Jordan标准形.解先求特征矩阵IAl-的初等因子()1321312112611413011