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高中数学解题研究会339444963群文件第1页（共16页）外接球通关21题（含答案）1.在平行四边形 中， t， t，若将其沿折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 A. πB. πC. πD. π2.四面体 中， t ， ， ，则此四面体外接球的表面积为 A. πB. π C. 晦πD. 晦 晦π3.已知三棱锥 中， ， ，直线 与底面 所成角为π ，则此三棱锥外接球的体积为 A. πB. π C. π D. π4.如图，在等腰梯形 中， ， t ， 为 的中点，将 与 分别沿 、 向上折起，使 、重合于点 ，则三棱锥 的外接球的体积为 ．A. π 晦B.π C.π D.π 高中数学解题研究会339444963群文件第2页（共16页）5.点 是底边长为 ，高为 的正三棱柱表面上的动点， 是该棱柱内切球表面上的动点，则 的取值范围是 A.t B.t C.t D. 6.在半径为 的球内放入大小相等的 个小球，则小球半径 的最大值为 A. B. C. D. 7.三棱锥 中， ， ， ，若 䁫， ，是该三棱锥外部（不含表面）的一点，则下列命题正确的是 ①存在无数个点，使 面 ；②存在唯一点，使四面体 为正三棱锥；③存在无数个点，使 ；④存在唯一点，使四面体 有三个面为直角三角形．A.①③B.①④C.①③④D.①②④8.高为 的四棱锥 的底面是边长为 的正方形，点 、 、、 、均在半径为 的同一球面上，则底面 的中心与顶点 之间的距离为 A. t B. C. D. 高中数学解题研究会339444963群文件第3页（共16页）9.已知三棱锥 中， 为等边三角形，且 ， 晦 ， ，则三棱锥 外接球的表面积为．10.已知两矩形 与 所在的平面相互垂直， ，若将 沿直线 翻折，使得点 落在边 上（即点 ），则当 取最小值时，边 的长是；此时四面体 的外接球的半径是．11.如图，正三棱锥 的侧棱长为 ，底面 的边长为 ， ， 分别为 ，的中点，则三棱锥 的外接球半径 ，内切球半径 ．12.在三棱锥 中，侧棱 两两垂直， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则三棱锥 外接球的表面积为．13.三棱锥 的外接球为球 ， 与 都是以 为斜边的直角三角形， 是以为斜边的等腰直角三角形，且 ，向量 与 的夹角为 π ，则球 的表面积为．高中数学解题研究会339444963群文件第4页（共16页）14.已知 ， ，， 是球 表面上的点， 平面 ， ， ， ，则球 的表面积等于15.在边长为 的正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，沿 ， 以及 把 ， 和 都向上折起，使 ，， 三点重合，设重合后的点为 ，那么对于四面体 中有下列命题：①点 在平面 上的射影是 的垂心；②四面体 的外接球的表面积是π．③在线段 上存在一点 ，使得直线 与直线 所成的角是t ；其中正确命题的序号是．16.对于四面体 ，以下说法中，正确的序号为．①若 ， ， 为 中点，则平面 平面 ；②若 ， ，则 ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为 t ；④若以 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则 在平面 内的射影为 的垂心；⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．17.已知 ， ，， 是球 表面上的四点， 是在正三角形，三棱锥 的体积为 ，且 t ，则球 的表面积为．18.如图，在正三棱柱 中， ， t， 为 的中点．高中数学解题研究会339444963群文件第5页（共16页）（1）若t ，请画出该正三棱柱的正（主）视图与左（侧）视图；（2）求证：平面 平面 ；（3）当平面 与平面 所成的锐二面角为 时，求该正三棱柱外接球的体积．19.如图1，在直角梯形 中， t ， ∥ ， ， ．将 沿 折起，使平面 平面 ，得到几何体 ，如图所示2．（1）求几何体 的体积；（2）求二面角 的正切值；（3）求几何体 的外接球的表面积．20.如图，四棱锥 的底面 是矩形，侧面 是等腰直角三角形， t ，且平面 平面 ．（1）求证： ；（2）若 ， ，求三棱锥 的体积；（3）在条件（2）下，求四棱锥 外接球的表面积．21.已知正四棱锥内接于半径为 的球，且外切于半径为 的球，求证： ．高中数学解题研究会339444963群文件第6页（共16页）答案第一部分1.C2.A【解析】通解依题意，在 中， cos 晦．在 中， cos 晦 ．在 中， ， t ，因此 是正三角形， ．如图所示，记三棱锥 的外接球球心为 ，半径为 ，取 的中点 ，连接 ， ， ， ，则有 ， ， 晦 ， ， ， ， 平面 ，球心 在平面 上的射影是正 的中心 ，连接 ，则 ∥ ， ， ．在直角梯形 中， ， ， ，即 ，解得 晦 ，因此三棱锥 的外接球的表面积等于 π π ．优解依题意，在 中， cos 晦．在 中， cos 晦 ．在 中， ， t ，因此 是正三角形， ．取 的中点 ，连接 ， ，则有 ， ， 晦 ， ， ， ， 平面 ，如图所示，以点 为原点，以 ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，高中数学解题研究会339444963群文件第7页（共16页）则 tt， tt，t t， tt．设三棱锥 的外接球球心为 ，则由 得 ，由此解得 t， ， ， ，因此三棱锥 的外接球的表面积等于 π π ．3.D【解析】如下图，取 的中点 ，连接 ， ，过 做 于 ．因为 ，所以 ， ．因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 又 ，所以 平面 所以 就是直线 与底面 所成角，所以 π 又因为 ，所以 与 全等，所以 ，所以 是正三角形，所以 ，即点 是三棱锥的外接球的球心，在直角 中， ，所以三棱锥的外接球的半径为 ．三棱锥外接球的体积为 π π ．4.C【解析】三棱锥 是一个正四面体，取 的中点 ，连接 连，连，做三棱锥的高 ，交底面与点 ，设球的球心为 ，则 ， ，所以有 ，解得 ，所以外接球的体积 π π ．高中数学解题研究会339444963群文件第8页（共16页）5.B【解析】当 点在内切球上时，与 点重合时 最小，为t；当 点在外接球上时，外接球半径算出为 ，所以 的最大值为外接球半径与内切球半径之和，为 ．所以 的取值范围是t ．6.A【解析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为 ，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心．该正四面体的高为 ．设正四面体的外接球半径为 ，则 ，解得 ．所以 ，解得 ．7.B【解析】①取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 ，可得 平面 ，则直线 上除去线段 上的点都可以取为点，则 面 ，因此存在无数个点，使 面 ；②以线段 为边做一个正三角形 ，使得点 在三角形 内的射影为三角形 的中心，则四面体 为正三棱锥，这样的点至少有两个，分别位于平面 的两侧；③因为 ， ， ，所以可以将此四面体补成一个以 ， ， 为邻边的长方体，其对角线的中点为此长方体外接球的球心，满足 ，此唯一；④取点 关于平面 的对称点为，则四面体 有三个面为直角三角形，此唯一．8.A【解析】如图：设四棱锥 的外接球球心为 ，则 面 ．在Rt 中， ， ，高中数学解题研究会339444963群文件第9页（共16页） ． 四棱锥 的高 ᦙ ， ᦙ， ∥ ᦙ．过 作 ᦙ交 ᦙ于 ，则 ．在Rt 中， ，则 ． ᦙ ， ᦙ ᦙ t ．第二部分9.晦π10. ， 【解析】由 ，设 t ， ，则 ， ．在Rt 中， ；在Rt 中， ；在Rt 中， ．由 ，得 ，整理，得 ．令 ，则 ．所以当 ，即 时， min ．由平面 平面 及 ，得 平面 ．取 的中点 ．在Rt 中， ；在Rt 中， ，所以 为四面体 的外接球的球心，从而半径 ．11. ， 【解析】取 中点O．因为正三棱锥 的侧棱长为 ，底面 的边长为 ， ， 分别为 ，的中点，所以 ，所以 ， 为全等的等腰直角三角形，所以 ．即 为三棱锥 的外接球的球心，半径