概率论与数理统计(浙大第四版简明本盛骤)第二章

概率论与数理统计第四版浙江大学盛骤1概率论部分2第二章随机变量及其分布23第二章随机变量及其分布关键词：随机变量概率分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数4§1随机变量*常见的两类试验结果：示数的——降雨量；候车人数；发生交通事故的次数…示性的——明天天气（晴，多云…）；化验结果（阳性，阴性）…esx离散型的连续型的X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数*中心问题：将试验结果数量化•定义：随试验结果而变的量X为随机变量•研究事件的概率转化为:研究随机变量取值的概率*常见的两类随机变量5§2离散型随机变量及其分布定义：取值可数的随机变量为离散量离散量的概率分布(分布律)10,1iiipp样本空间S＝{X=x1，X=x2，…，X=xn，…}由于样本点两两不相容111()()iiiiPSPXxp1、写出可能取值－－即写出了样本点2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率P…………1x2xix1p2pipX#概率分布6例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。1(0)()PXPAp；12(1)()(1)PXPAApp；2123(2)()(1)PXPAAApp；3123(3)()(1)PXPAAAp；pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)30,1,23XXXXS注意：为的一个划分解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3且A1,A2,A3相互独立。7例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0p1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。1121()()(1),1,2,kkkPXkPAAAAppk解：设Ai={第i次抽到正品}，i=1,2,…则A1,A2,…相互独立。亦称X为服从参数p的几何分布。8三个主要的离散型随机变量0－1(p)分布二项分布Xpq01p样本空间中只有两个样本点即每次试验结果互不影响在相同条件下重复进行(p+q=1),AA*n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果：p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。9贝努利试验示例：1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面，如果是不放回抽样呢？各次取牌不独立!不是贝努利试验!,,AA,,AA12P出现正面16PA12PA2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验只有两个结果：3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则每次只有两个结果：10设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布，记()(1)01kknknPXkCppkn，，，，()Xbnp，3123(0)()(1)PXPAAAp3123(3)()PXPAAAp22321231231233(2)()(1)PXPAAAAAAAAACpp11311231231233(1)()(1)PXPAAAAAAAAACpp()(1),0,1,2,,kknknPXkCppkn一般01()1nnkknknkpqCpqqp注：其中推导：设Ai={第i次A发生}，先设n=311例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。(3,)Ybp331()(1),0,1,2,3kkkPYkCppk2232(2)(1)PYCpp解：这是三重贝努利试验12例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p1，设命中X次，(1)求X的概率分布律；(2)求至少有一次命中的概率。(,)Xbnp1()(1)0,1,,kknknPXkCppkn，2(1)1(0)1(1)nPXPXp(1)1nlimPX解：这是n重贝努利试验同时可知：上式的意义为：若p较小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。13例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。141,2,3,420iXAii解：以记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。以表示事件“第人维护的台中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障不按第一种方法。能及时维修的概率为：123412PAAAAPAPX20,0.01,Xb而故有：1021kPXPXk12020010.010.990.0169kkkkC12340.0169PAAAA即有：80,80,0.01,80YYb按第二种以记台中同一时刻发生故障的台数，此时故台中发生故障而不能及时维修方法。的概率为：380800410.010.990.0087kkkkPYC15例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验，从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．求这批产品能被接受的概率L(p)．()LPL(P)=P(A)(|12)(0|12)(0)PAXPYXPY(0)(|0)PXPAX(12)(|12)PXPAX(2)(|2)PXPAX109285(1)[10(1)45(1)](1)pppppp解：设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数；则X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。A={接受该批}。16泊松分布(Poisson分布)若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为λ的泊松分布，记()0,1,2,,0!kePXkkk，~()X•1710,0.1,1,knkkknnpeCppnpk二项分布与泊松分布有以下近似公式：当时其中！泊松分布示例184.54.5()0,1,2,!kePXkkk，4.51(2)1(0)(1)1(14.5)0.9389PXPXPXe(2)2(2|2)0.1198(2)PXPXXPX例：设某汽车停靠站候车人数(1)求至少有两人候车的概率；(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。解：()4.5X，19§3随机变量的分布函数,,()XxPXxx随机变量对实变量应为的函数,,()()XxFxPXxX随机变量对任意实数称函数为的概率分布函数，简分义：称定布函数。12210()()()PxXxFxFx()Fx的几何意义：1)0()1FxxX()Fx的性质：2)()()0()1FxFF单调不减，且，20例：解：00()0111xFxPXxqxxpX01qp(1)PXp(1)1()1PXpxFx比较与当时，1XFxPX求的概率分布函数及的值。01q1xFx21§4连续型随机变量及其概率密度定义：对于随机变量X的分布函数若存在非负的函数使对于任意实数有：(),fx()()xFxftdt(),Fx,x()fx其中称为X的概率密度函数，简称概率密度。则称X为连续型随机变量，22与物理学中的质量线密度的定义相类似()()PxXxxfxx00()()()()'()xxFxxFxPxXxxfxFxlimlimxx()fx的性质：1)()0fx+2)()1fxdx21122112()()()0xxxxxxPxXxftdtPXa3)对于任意的实数，4)()'()()fxxFxfx在连续点，()fx即在的连续点()fxXx表示落在点附近的概率的多少()yfx1x2x1面积为12PxXx23例：设X的概率密度为(1)求常数c的值；(2)写出X的概率分布函数；(3)要使求k的值。解：2()3PXk，01()29360cxfxx其他1()ftdt1()FxPXx22()()4.53PXkFkk3使160329cdtdt23c13c010103001013113312363916xxxdtxdtxdtdtxx003011313(23)/93616xxxxxxx24几个重要的连续量均匀分布定义：X具有概率密度称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X～U(a,b)1()clcacclblPcXcldtcbaba设----与无关0()1xaxaFxaxbbaxb1(,)()0xabfxba其他fx0bxa1baFx0bxa125例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率密度。并求的值；若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有两个数大于0的概率。1,12()30,xfx其他2(0),3PX2(10,)3Yb2821021(2)33PYC(0)PX解：X在区间(-1,2)上均匀分布设10个数中有Y个数大于0，则：26指数分布定义：设X的概率密度为其中λ0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为0()00xexfxx()XEP10()00xexFxx00(|)PXttXt00()()PXttPXt001()1()tFtteFt()PXtX具有如下的无记忆性：27210tNttPoissonTT例：某大型设备在任何长度为的区间内发生故障的次数服从参数为的分布，记设备无故障运行的时间为1求的概率分布函数；已知设备无故障运行个小时，求再无故障运行8个小时的概率。/!,0,1,2,ktPNtketkk解：100TtFt当时，1TFtPTtPTt0101tTtFtPNte当时，818218|10810PTPTTePTPT28正态分布定义：设X的概率密度为其中为常数，称X服从参数为的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：22()21()2xfxex，2(,)XN()1fxdx+()fxdx22tIedt记2212xttedt令2212tedt22()22xyIedxdy22200rdredr2I()1fxdx2,2,29称μ为位置参数(决定对称轴位置)σ为尺度参数(决定曲线分散性)max21()12()23()0~(,)xfxxfflimfxXN关于对称0fx1x550.51.0