数字电子技术基础2(第二版)

第2章逻辑代数基础第2章逻辑代数基础2.1逻辑代数的基本运算2.2逻辑代数的基本定律和运算规则2.3复合逻辑和常用逻辑门2.4逻辑函数的两种标准形式2.5逻辑函数的化简方法第2章逻辑代数基础2.1.1逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数将事物发生的原因（条件）和结果分别用逻辑变量和逻辑函数来描述。2.1逻辑代数的基本运算第2章逻辑代数基础逻辑变量与普通代数的变量相似，可以用A、B、C和x、y、z等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的取值可以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻辑0和逻辑1并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方的两种状态，即两种对立的逻辑状态。例如，它们可以代表事件的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，电平的高、低等。第2章逻辑代数基础逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随着自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可数字电路响应输入的方式称为电路的逻辑，任何一个数字电路的输出与输入变量之间都存在一定的逻辑关系，并可以用逻辑函数来描述。例如，对于某电路，若输入逻辑变量A、B、C、…的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被唯一确定了，则可以称F是A、B、C、…的逻辑函数，并记为F=f（A,B,C,…）。第2章逻辑代数基础2.1.2三种基本逻辑运算逻辑代数的基本运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT1.与运算（逻辑乘）与运算（逻辑乘）表示这样一种逻辑关系：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才发生。例如在图2.1.1所示的串联开关电路中，只有在开关A和B都闭合的条件下，灯F才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为与逻辑。如果设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯F亮为1，灭为0，则F与A、B的与逻辑关系可以用表2.1.1所示的真值表来描述。所谓真值表,就是将输入逻辑变量的所有取值组合与其对应的输出函数值列成表格的表示形式。第2章逻辑代数基础图2-1与逻辑实例第2章逻辑代数基础表2.1.1与逻辑真值表ABF000110110001与逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A·B第2章逻辑代数基础在逻辑代数中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号“·”表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“·”。在有些文献中，也采用∧、∩及&等符号来表示逻辑乘。实现与逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号如图2.1.2所示。其中,图（a）为特定外形符号，图（b）为矩形轮廓符号。这两种符号都是IEEE/ANSI（电气与电子工程师协会/美国国家标准协会）认定的图形符号，且与IEC（国际电工协会）标准相兼容。其中,图（a）表示的特定外形符号目前在国外教材和EDA软件中已被普遍使用，因此本书均采用这种特定外形符号。第2章逻辑代数基础图2.1.2与门的逻辑符号第2章逻辑代数基础2.或运算（逻辑加）或运算（逻辑加）表示的逻辑关系是：决定事件结果的所有条件中，只要有一个满足，结果就会发生。例如，图2.1.3所示的并联开关电路中，只要开关A、B中有一个闭合，灯F就亮，这种灯亮与开关闭合的关系称为或逻辑。F与A、B的或逻辑关系可以用表2.1.2所示的真值表来描述。第2章逻辑代数基础图2.1.3或逻辑实例第2章逻辑代数基础表2.1.2或逻辑真值表ABF0001101101１1或逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A+B或逻辑也称为或运算或逻辑加。符号“+”表示逻辑加。有些文献中也采用∨、∪等符号来表示逻辑加。第2章逻辑代数基础实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符号如图2-5所示，其中图(a)为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行的符号，图(c)为国标符号(见附录一)。图2-6是一个2输入的二极管或门电路。图中输入端A、B的电位可以取两种值：高电位+3V或低电位0V。，并规定高电位为逻辑1，低电位为逻辑0，则F与A、B之间逻辑关系的真值表与表2-2相同，因此实现了F=A+B的功能。第2章逻辑代数基础图2.1.4或门的逻辑符号第2章逻辑代数基础3.非运算(逻辑反)非运算(逻辑反)是逻辑的否定：当条件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。例如，在图2-7所示的开关电路中，只有当开关A断开时，灯F才亮，当开关A闭合时，灯F反而熄灭。灯F的状态总是与开关A的状态相反。这种结果总是同条件相反的逻辑关系称为非逻辑。非逻辑的真值表如表2-3所示，其逻辑表达式为AF通常称A为原变量，A为反变量。第2章逻辑代数基础图2.1.5非逻辑实例AF0110表2.1.3非逻辑运算真值表第2章逻辑代数基础图2.1.6非门逻辑符号第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的基本定律和运算规则2.2.1基本定律逻辑代数的基本定律如表2.2.1所示。第2章逻辑代数基础表2.2.1逻辑代数的基本定律名称公式1公式20-1A+1=1A0=0自等律A+0=AA1=A重叠律A+A=AAA=A互补律A+A=1AA=0交换律A+B=B+AAB=BA结合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)分配律A+BC=(A+B)(B+C)A(B+C)=AB+AC反演律（摩根定理）BA=BABA=BA还原律A=A第2章逻辑代数基础1.0-1律、自等律、重叠律和互补律都是属于变量和常量的关系式。由于逻辑常量只有0、1两种取值，因此逻辑变量与常量的运算结果可直接根据三种基本逻辑运算的定义推出。这些定律也称为公理，可以用来证明其他公式。第2章逻辑代数基础2.交换律、结合律、分配律的运算法则与普通代数相似，但是分配律中A+BC=(A+B)(A+C)在普通代数中是不成立的。该定律称为加对乘的分配律，可以采用公式法证明。证：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有A+BC=(A+B)(A+C)第2章逻辑代数基础表2.2.2反演律证明AB000110111110111010001000ABBABABA3.反演律和还原律是逻辑代数中的特殊定律。反演律又称为德·摩根（DeMorgan）定理，在逻辑代数中具有特殊重要的作用,它提供了一种变换逻辑表达式的方法，即可以将与运算之非变成或运算，将或运算之非变成与运算。反演律的正确性可以通过表2.2.2所示的真值表证明。第2章逻辑代数基础2.2.2三个重要规则1.代入规则任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值，所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基本定律的运用范围。例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律，即CBA=FAFACBA=CBA第2章逻辑代数基础2.反演规则对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的算符“·”换成“+”，“+”换成“·”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的结果就是。称为原函数F的反函数，或称为补函数。反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。例如：FF,ACDCABF);]()[(CADCBAF若则,EDCBAF。EDCBAF若则运用反演规则时应注意两点：①不能破坏原式的运算顺序——先算括号里的，然后按“先与后或”的原则运算。②不属于单变量上的非号应保留不变。第2章逻辑代数基础3.对偶规则对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式F中所有的算符“·”换成“+”,“+”换成“·”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的对偶式，记为F′(或F*)。例如：AFAFCBAFCBAFCABAFCABAF''',;,);1()(),0(则若则若则若以上各例中F′是F的对偶式。不难证明F也是F′对偶式。即F与F′互为对偶式。第2章逻辑代数基础任何逻辑函数式都存在着对偶式。若原等式成立，则对偶式也一定成立。即，如果F=G,则F′=G′。这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶规则。必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改变，且式中的非号也保持不变。观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都是成对出现的，而且都是互为对偶的对偶式。例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律也成立。第2章逻辑代数基础2.2.3若干常用公式1.合并律ABAAB在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的两个因子(如B和B)，而其它因子都相同，那么这两个乘积项称为相邻项。合并律说明，两个相邻项可以合并为一项，消去互补量。证：AB+AB=A（B+B）=A1=A第2章逻辑代数基础表2.2.3若干常用公式名称公式1公式2合并律AB+AB=A(A+B)(A+B)=A吸收律○1A+AB=AA(A+B)=A吸收律○2BABAAA(A+B)=AB吸收律○3AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)第2章逻辑代数基础2.吸收律A+AB=A证：A+AB=A(1+B)=A·1=A吸收律①说明，两个乘积项相加时，如果一个乘积项的部分因子（如AB项中的A）恰好等于另一乘积项（如A）的全部，则该乘积项（AB）是多余的，可以消去。BABABAAABAABABAA)(1))((证：①第2章逻辑代数基础该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项(如A)取反后是另一个乘积项(如的因子，则此因子是多余的。BAACAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAABCAABBCCAAB)(证：推论：CAABBCDCAAB该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补(如AB项和AC项中的A和A)，而这两个乘积项中的其余因子(如B和C)都是第三个乘积项中的因子，则这个第三项是多余的。③第2章逻辑代数基础2.3复合逻辑和常用逻辑门2.3.1复合逻辑运算和复合门1.与非、或非、与非逻辑运算是与运算和非运算的组合，即BAF或非逻辑运算是或运算和非运算的组合，即BAF与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即CDABF第2章逻辑代数基础图2.3.1与非门、或非门和与或非门的逻辑符号第2章逻辑代数基础BABABAFABF000110110110表2.3.1异或逻辑真值表2.异或和同或逻辑运算异或逻辑的含义是：当两个输入变量相异时，输出为1；相同时输出为0。是异或运算的符号。异或运算也称模2加运算。异或逻辑的真值表如表2-5所示，其逻辑表达式为第2章逻辑代数基础表2.3.2同或逻辑真值表ABF000110111001第2章逻辑代数基础实现异或逻辑的单元电路称为异或门，其逻辑符号如图2.3.2（a）所示。实现同或逻辑的单元电路称为同或门，其逻辑符号如图2.3.2（b）所示。图中第一行均为特定外形符号，第二行均为矩形轮廓符号。第2章逻辑代数基础图2.3.2异或门和同或门的逻辑符号第2章逻辑代数基础ABBABAFABF000110111001表2.3.3异或、同或运算的常用公式由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即第2章逻辑代数基础由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即BABABABA,不仅如此，它们还互为对偶式。如果，G=A⊙B，不难证明F′=G,G′=F。因此可以将“”作为“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出，两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。BAF第2章逻辑代数基础3异或和同或运算的常用公式如表2.3.3所示。表中的公