南京工程学院《概率论与数理统计》第三章课件-盛骤

第一节二维随机变量第三章多维随机变量及其分布到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的.定义1设X、Y为定义在同一个样本空间中的随机变量，称(X,Y)为一个二维随机变量(向量).注类似可定义n维随机变量(X1,X2,…,Xn).请注意与一维情形的对照第一节二维随机变量1.多维随机变量的定义第三章多维随机变量及其分布定义1设x,y为任意的实数，称二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}为随机变量(X,Y)的(联合)分布函数.2.联合分布函数的定义及性质注联合分布函数是两个随机事件积事件的概率.联合分布函数是否是两个随机事件概率的乘积?xXOxOxyyYX,YXyx,x将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,,XY那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,XY,xy,Fxy,xy分布函数的函数值的几何解释F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x)=P{X≤x}性质2关于x,y是单调不减的(证);性质1非负有界0≤F(x,y)≤1；性质3;0),(lim),(limyxFyxFyx性质4一元右连续，即分别关于x、y是右连续的.性质5对任意的实数x1＜x2,y1＜y2，有：P{x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2}=F(x2,y2)＋F(x1,y1)－F(x1,y2)－F(x2,y1)≥0.1,,0,FFxyOYX,2y1y1x2x3.二维离散型随机变量,),(ijjipyYxXP或随机变量X和Y的联合分布律.,)(kkpxXPk=1,2,…一维离散型随机变量X的分布律,0kpkkp1k=1,2,…定义2的值是有限对或可列无限多对,是离散型随机变量.则称,XY设二维离散型随机变量,XY可能取的值是,,ijxy,1,2,,ij,1,2,ij记如果二维随机变量,XY全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量的分布律,,XYXYx1x2x3…y1p11p21p31…y2p12p22p32…y3p13p23p33…............XYx1x2x3…y1p11p21p31…y2p12p22p32…y3p13p23p33…............性质3对离散型随机变量(X,Y),性质1对任意的i,j，有pij≥0;性质2.111ijjip.),(,yyxxjijipyxF联合分布律的性质例1从1,2,3,4中随机地取一个数X，再从1,…,X中随机地取一个数Y，计算X,Y的联合分布.解YX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16X、Y的可能取值？例2把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)YX1301838001233800184.二维连续型随机变量若存在f(x,y)≥0,使得(X,Y)的分布函数F(x,y)满足：则称(X，Y)是连续型二维随机变量.f(x，y)称为(X,Y)的(联合)密度函数.,),(),(yxdudvvufyxF性质1f(x，y)≥0；性质3若密度函数f(x，y)连续，则有Fxypxyxy2()(),,f.1),(),(Fdxdyyxf性质2连续型一维随机变量XX的概率密度函数f(x)≥0f(x)dx=1F(x)=f(x)xF(x)f(t)dt性质4二维连续随机向量概率计算公式设G是平面上的任意一个区域，则.),(}),{(GdxdyyxfGYXP其几何解释为：P{(X,Y)G}的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶面的曲顶柱体体积.POxy=f(x)1yx1x2P{x1＜X≤x2}=F(x2)–F(x1)=xxf(x)dx21例2设X,Y的密度函数为2e－(2x＋y),当x＞0,y＞0；0，其它f(x，y)=(1)求分布函数F(x，y)；(2)计算P{Y≤X}（结合图形）.解yxdudvvufyxF),(),((1)对任意的x＞0、y＞0，yxvudvedu00)2(2).1)(1(2yxee0，其它.F(x，y)=于是(1－e－2x)(1－e－y),当x,y＞0例2设X,Y的密度函数为2e－(2x＋y),当x＞0,y＞0；0，其它f(x，y)=(1)求分布函数F(x，y)；(2)计算P{Y≤X}.解(2)设在G0上f(x,y)0，且y≤x，则OxyG00dd),(dd),(}{GxyyxyxfyxyxfXYP0)(2d2dyyxxey.31按y-型区域作业P842；3第二节边缘分布(X,Y)的分量X(或Y)的概率分布称为X(或Y)的边缘分布.X与Y的边缘分布函数分别为FX(x)=F(x,+)；FY(y)=F(+,y).1.离散型随机变量的边缘分布律若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,则X及Y的边缘分布律分别为：ijjp1pi·=P{X=xi}p·j=P{Y=yj}ijip1例1从1,2,3,4随机地取一个数X，再从1,…,X中随机地取一个数Y，计算X、Y各自的边缘分布律.解分布律见下表.则X、Y的边缘分布律为：YX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16p·j=P{Y=yj}pi·=P{X=xi}25/4813/487/483/481/41/41/41/4X、Y的边缘分布律分别为12341/41/41/41/4Xpi.123425/4813/487/483/48Yp.j2.连续型随机向量的边缘概率密度设(X,Y)的密度函数为f(x，y),＜x,y＜+.则定义X,Y的边缘概率密度分别为：;,d),()(xyyxfxfX.,d),()(yxyxfxfY用x-型区域求（x值固定，关于y积分）用y-型区域求（y值固定，关于x积分）fX(x)=f(x,y)dy=xx26dy=6(xx2),0≤x≤1,0,其它.fY(x)=f(x,y)dx=y6dx=6(y),0≤y≤1,0,其它.yy用x-型区域求用y-型区域求解例2已知X、Y的联合密度函数为：计算X、Y的边缘概率密度.6，x2≤y≤x;0，其它.f(x，y)=Gy=x2Oxy11作业P845；6；7；8；9例4二维均匀分布(X,Y)~U(G),其密度函数为若(X,Y)~U(a,b;c,d),可以证明X~U(a,b),Y~U(c,d)，即其中A为平面区域G的面积.,),(0,),(,1),(GyxGyxAyxf,0,,1)(其它bxaabxfX.0,,1)(其它dyccdyfY第四节相互独立的随机变量定义1若对所有的实数x,y，随机变量X、Y都满足：F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量X、Y是相互独立的.1.两个随机变量相互独立的定义2.离散型随机变量相互独立的充分必要条件(证)X,Y相互独立对所有i,j，都有pij=pi·p·j,即有，P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}.注判断两个离散随机变量不独立，只需找到某一对i0、j0，使得：pijpi·p·j.0000例1从1、2、3、4中随机地取一个数X，再从1,…,X中随机地取一个数Y.判断X、Y是否独立？解见分布律表显然，P{X=3,Y=4}=0P{X=3}P{Y=4}=(1/4)(3/48).即X、Y不独立.YX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16p·j=P{Y=yj}pi·=P{X=xi}25/4813/487/483/481/41/41/41/413.连续随机变量相互独立的充分必要条件(证)连续随机变量X,Y相互独立对所有的实数x,y，都成立：f(x,y)=fX(x)fY(y).2e－(2x＋y),当x＞0,y＞0；0，其它f(x，y)=例2讨论X,Y的独立性，(X,Y)的密度函数为显然，f(x，y)=fX(x)fY(y)，即X,Y相互独立.解其边缘密度分别为2e－2x,当x＞0,0，其它.fX(x)=e－y,当y＞0,0，其它.fY(y)=作业P86–17,18定理若(X,Y)~N(1,2;12,22;)，则X,Y相互独立的充分必要条件是=0.证(略)定理2若X,Y独立,且函数g(u)与h(u)都是连续(或者单调)函数，则g(X)与h(Y)也是独立的.类似可定义n维随机变量(X1,X2,···,Xn)及其联合分布函数，联合密度函数，联合分布律，相互独立等内容第五节两个随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布律（类似于一维）2.连续型随机变量函数的分布(一)Z=X+Y的分布设(X,Y)密度函数为f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=f(x,y)dxdy.x+y≤zOxyzzyuxyzZdudyyyufdyduyyufdydxyxfzF]),([]),([]),([)(令.用y-型区域G设X、Y有联合密度函数f(x，y)，则Z=X＋Y的密度函数为：特别的，当X、Y相互独立时，设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x),fY(y)有：dyyyzfdxxzxfzfZ),(),()(.)()()(,)()()(dyyfyzfzfdxxzfxfzfYXZYXZ①Z=X+Y的密度函数②正态分布的可加性更一般的，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.如果X、Y相互独立，并且X~N(1,12)，Y~N(2,22)，则X＋Y~N(1＋2,12＋22)..,0,2010,)()(,100,)()()(10100其它zdxxzfxfzdxxzfxfzfzzR.0,2010,)20(150001,100),60600(150001332其它zzzzzz在不同范围内积分即可求得R的概率密度：YX,1x2xyyx,1yx,2;的不减函数和是关于变量,yxyxF;,,,,212121yxFyxFxxRxxRy时当及对任意固定的;,,,,212121yxFyxFyyRyyRx时当及对任意固定的YX,xyO