材料力学chapt3

第三章扭转第五节等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算第一节概述第二节传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图第三节薄壁圆筒的扭转第四节等直圆杆在扭转时的应力、强度条件ABA'B'jgmmg：剪切角g(剪应变)j：相对扭转角外力偶作用平面和杆件横截面平行第一节概述扭转δR0---薄壁圆筒规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正mm0R第二节薄壁圆筒的扭转mT11扭矩切应力对应扭转扭转实验前平面假设成立相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。纵线圆周线扭转实验后结论扭转eMr0AτdA得：02τAMe其中：200rAMer0xdA由几何关系知：lr/ggG……剪切胡克定律（线弹性范围适用）OTO另外有：）（12EGG为材料的剪切弹性模量扭转一、传动轴上的外力偶矩第三节传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T1分钟输入功：PPW600001000601分钟me作功eeenMnMMW2)12(''WW)(9550mNnPMe扭转例一传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBMCBCADMD解：计算外力偶矩mN6379550mN5.4779550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA扭转二、扭矩及扭矩图1.横截面上的内力：扭矩(T)2.扭矩图：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小)。例二计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知mN637mN5.477mN1592DCBAMMMM477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩图如左图示。扭转abdxabTT一、横截面上的应力1、变形几何关系第四节等直圆杆在扭转时的应力强度条件xddjg扭转gMeMedxO2jdgg2、物理关系(剪切虎克定律)xGGddjggGOr3、力学关系p2ddddIxGdAxGdATAAjj—极惯性矩AdAI2pdAdA：点到截面形心的距离：横截面上的扭矩TITptWTITrpmaxrIWpp应力公式1)横截面上任意点：2)横截面边缘点：其中：maxd/2ρOT抗扭截面模量324pdI163pdW()1(32324444pDdDI)1(1643pDWmaxD/2OTd/2空心圆实心圆扭转二、斜截面上的应力单元体：微小的正六面体odydzdxxyz′在扭转时，左右两侧面（杆的横截面）上只有切应力，方向与y轴平行，前后无应力。由平衡知：τ′=τ切应力互等定理：两个相互垂直平面上的剪应力τ和τ′数值相等，且都指向（或背离）该两平面的交线。注意：上述定理具有普遍意义，在有正应力的情况下同样成立。纯剪切状态：单元体在其两对互相垂直的平面上只有剪应力而无正应力的状态。（其前后两面上无任何应力）扭转xn((((0sinsindcoscosdd0cossindsincosddAAAtAAAn得：2cos2sin0045min45max，低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏扭转三、强度条件强度条件：，[]—许用切应力；][pmaxmaWTx轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。根据强度条件可进行：强度校核;选择截面;计算许可荷载。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[]与许用正应力[]之间存在下述关系：对于塑性材料．[]＝(0.5一0.577)[]对于脆性材料，[]＝(0.8—1.0)[l]式中，[l]代表许用拉应力。扭转例三某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[]=100MPa，试校核轴的强度。33pp4444p103.202/101.77)1(32mmDIWmmDI][5.97PMPaWTmaxmax解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。MPadWTmaxmax5.9716/1098.133p(31334.044)2(222dtDDAA实空MPa5.97max若将空心轴改成实心轴，仍使，则由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：扭转一、扭转时的变形计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。llxGIT0pddjj相对扭转角：GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。II、刚度条件][180maxmaxGIT其中：[]—许用扭转角，取值可根据有关设计标淮或规范确定。扭转第五节等直圆杆在扭转时的变形刚度条件单位长度的扭转角：pddGITxj例四图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.50／m。解：1．扭转变形分析利用截面法，得AB段BC段的扭矩分别为：T1＝180N·m，T2＝-140N·m设其扭转角分别为φAB和φBC，则：rad1050.1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017.1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBCCmBmAmll扭转各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。由此得轴AC的总扭转角为rad100.33rad101.17-rad1050.1-2-22BCABAC2刚度校核轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度符合要求。θ/m43.0π180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx扭转