第7章-不可压缩流体动力学基础

1流体力学第7章不可压缩流体力学基础主讲马良栋Tel:15898512602大连理工大学建设工程学部Tel:15898512602E-mail:[e-mail]2011-5-111/572流体力学71流体微团运动的分析7.1流体微团运动的分析‡流体微团的运动类型刚体——平移、旋转流体——平移、旋转、变形（线变形、角变形）dzudyudxuxxx∂∂+∂222zyyxuxxxx∂−∂+∂−222dzzudyyudxxuuxxxx∂∂−∂∂+∂∂+222dzzudyyudxxuuxxxx∂∂+∂∂+∂∂−222dzzudyyudxxuuxxxx∂∂+∂∂+∂∂+dzudyudxu∂∂∂yu222dzzudyyudxxuuxxxx∂∂−∂∂−∂∂+ddd∂∂∂222dzzudyyudxxuuxxxx∂∂−∂∂−∂∂−xuzu2011-5-112/57222dzzudyyudxxuuxxxx∂∂+∂∂−∂∂+222dzzudyyudxxuuxxxx∂∂+∂∂−∂∂−3流体力学71流体微团运动的分析7.1流体微团运动的分析‡线变性速度22dyyudxxuuyyy∂∂+∂∂−22dyyudxxuuyyy∂∂+∂∂+22dyyudxxuuxxx∂∂+∂∂+22dyyudxxuuxxx∂∂+∂∂−yv1、平移速度：ux，uy，uz2、线变形速度（指的是单位时间单位长22yx∂∂dyudxuuyy∂−∂−dyudxuuyyy∂−∂+yxv（指的是单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度）x方向线变形22dyyudxxuuxxx∂∂−∂∂+22dyyudxxuuxxx∂∂−∂∂−22yxuy∂∂22yxy∂∂x方向线变形xxxxxuuuxdtudtxdtxdtxxδδθδ∂∂⎛⎞+−==⎜⎟∂∂⎝⎠x向线变形速度xxudxdtuxθ∂⋅⋅∂∂同理yuθ∂=zzuε∂=∂2011-5-113/57xxxdxdtxθ∂==⋅∂同理yyθ∂z∂产生原因：存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因4流体力学71流体微团运动的分析7.1流体微团运动的分析‡旋转角速度（角平分线的旋转角速度）∂⎧()'1122xxyxzuydtuBBydtuuyyydtdtxyuδδβδδδαδβω∂⎧⎪∂∂===⎪∂⎛⎞∂⎪∂⇒⇒−=−=⎨⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎪'yyyuxdtuAAxdtxxxδδαδδ∂⎝⎠⎪∂⎪∂===⎪∂⎩微团绕平行于oz轴的旋转角速度微团绕平行于oz轴的旋转角速度12yzxuuyzω∂⎛⎞∂=−⎜⎟∂∂⎝⎠y⎝⎠同理12xzyuuzxω∂∂⎛⎞=−⎜⎟∂∂⎝⎠∂⎛⎞2011-5-114/57逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负12yxzuuxyω∂⎛⎞∂=−⎜⎟∂∂⎝⎠5流体力学71流体微团运动的分析7.1流体微团运动的分析‡角变形速度把直角边与对角线的夹角的变形速度定义为流体微团的角变形速度1122yyyyxxzzuuuuuuεω∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞∂∂=−=−−=+⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠22xxxyxy∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠12yzxuuε∂⎛⎞∂=+⎜⎟∂∂⎝⎠2xyz⎜⎟∂∂⎝⎠12xzyuuε∂∂⎛⎞=+⎜⎟∂∂⎝⎠同理2011-5-115/572yzx⎜⎟∂∂⎝⎠6流体力学71流体微团运动的分析7.1流体微团运动的分析‡速度分解⎪⎪⎧∂∂+∂∂+∂∂=zzuyyuxxududddxxxxzyxuuuuddduduu+++=+=00⎪⎪⎪⎪⎪⎨∂∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂uuuzzuyyuxxuduzyxydddyyy⎥⎤⎢⎡⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡∂∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⎥⎤⎢⎡xuuuxuzuxuyuxuud11)(21)(21dzxyxxx⎪⎪⎩∂∂+∂∂+∂∂=zzuyyuxxuduzdddzzz⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂=⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣zyzuzuyuzuxuyuzuyuyuxuuudd)(21)(21)(21)(21ddzyzxzzyyxyzy⎥⎤⎢⎡⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡∂∂∂∂∂∂−∂∂∂∂−∂∂+xuuuuxuzuxuyudd)(10)(1)(21)(210zyxyzxyx2011-5-116/57⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣∂∂−∂∂∂∂−∂∂∂−∂∂−∂+zyzuyuzuxuyzyxdd0)(21)(21)(20)(2yzxzzyxy7流体力学71流体微团运动的分析7.1流体微团运动的分析‡速度分解平移旋转线变形速度0zyxzyuudydzdxdydzωωθεε=−++++00xzyxzyxzyxvvdzdxdydzdxwwdxdydzdxdyωωθεεωωθεε=−++++=−++++yy角变形速度2011-5-117/578流体力学72有旋流动7.2有旋流动流体微团的旋转角速度在流场内不完全为零的流动称为有旋运动‡涡量场在有旋流动的流场中全部或局部地区的流体在有旋流动的流场中，全部或局部地区的流体微团绕自身轴旋转，于是形成一个用涡量表示的涡量场。设流体微团的旋转角速度为，则涡量(,,,)xyztωG2xyzijkωΩ==Ω+Ω+ΩGG涡量rotijkuuΩ∂∂∂==∇×=∂∂∂KK2011-5-118/57涡xyzxyzuuu∂∂∂9流体力学72有旋流动7.2有旋流动‡判断流体微团是否旋转的判据0u∇×=K时称为无旋流动，否则称为有旋流动。‡涡量连续性方程uΩ=∇×GGuΩ∇×()0u∇⋅Ω=∇⋅∇×=GG∂Ω∂Ω∂Ω2011-5-119/570yxzxyz∂Ω∂Ω∂Ω++=∂∂∂10流体力学72有旋流动7.2有旋流动‡涡线、涡管、涡束和涡通量类比：流场——流线、流管、流束、流量等；涡量场涡线涡管涡束涡通量等涡量场——涡线、涡管、涡束、涡通量等。(1)涡线：曲线任一点的方向与该点的涡量方向一致dddxyz方dddxyz2011-5-1110/57流线微分方程：dddxyzxyzuuu==涡线微分方程：xyzyωωω==11流体力学72有旋流动7.2有旋流动(2)涡管定义：在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过该封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线构成一管状表面，称为涡管。涡束：涡管中充满着作旋转运动的流体，即涡管涡束涡管中充满着作旋转运动的流体，即涡管中所有涡线构成的涡线簇，称涡束。涡管截面：垂直于涡管中所有涡线的截面涡管截面：垂直于涡管中所有涡线的截面。特点：①涡线不能相交；②不能穿过涡管；③2011-5-1111/57定常流场中，涡管形状和位置不变。12流体力学72有旋流动7.2有旋流动(3)涡通量定义：通过某一开口曲面的涡量总和,或涡管强度。J对于涡旋截面dJrotddKKuAAΩ对于涡旋截面，dJrotdduAAΩ=⋅=⋅整个涡管=ddddydzdzdxdxdyKnxyzAAAAJJAAΩΩΩΩΩ=⋅==++∫∫∫∫2011-5-1112/5713流体力学72有旋流动7.2有旋流动有旋运动的性质：同一瞬时通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等。12nnAAdAdAΩ=Ω∫∫12AA∫∫1122AAΩ=Ω1122AAωω=证明证明：123AAAAJdAdAdAdA=Ω⋅=Ω⋅+Ω⋅+Ω⋅∫∫∫∫GGGGGGGG截面A1上涡量向12nnAAJdAdA=−Ω+Ω∫∫GGGG∫∫GGG∫∫GGGG截面A1上涡量向量与截面的外法线方向相反2011-5-1113/57高斯理论：0AVdAdVΩ⋅=∇⋅Ω=∫∫GGG120nnAAdAdA−Ω+Ω=∫∫GGGG14流体力学72有旋流动7.2有旋流动推论：推论（1）对于同一涡管，涡旋截面越小，涡量越大；产（2）涡管不能在流体内部产生或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环。或者终止于和开始于边界面这是因为涡旋截面趋近于0的地方流体角界面，这是因为涡旋截面趋近于0的地方，流体角速度趋于无穷大，这不可能。如：抽烟时，烟圈是封闭的涡环；龙卷风开始于底面，终止于云层。2011-5-1114/5715流体力学72有旋流动7.2有旋流动‡速度环量在流场中，任取一封闭曲线S，速度沿此曲线的积分称为曲线S通常涡通量是利用速度环量来计算的。在流场中，任取封闭曲线S，速度沿此曲线的积分称为曲线S上的速度环量，记为Γ，即dsVα封闭曲线=ddddKvvxyzSSuSuxuyuzΓ⋅=++∫∫α2011-5-1115/5716流体力学72有旋流动7.2有旋流动‡斯托克斯定理sAwvuwvuudxvdywdzdydzdzdxdxdyyzzxxy⎡⎤⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎛⎞++=−+−+−⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫xxyyzznsAAVdsdAdAdAdA⋅=Ω+Ω+Ω=Ω∫∫∫JGGvJΓSAJΓ=沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面A的涡通量。2011-5-1116/5717流体力学72有旋流动7.2有旋流动yvDvC考虑如图所示的封闭曲线，计算环量uCCDvAvBuD22BcABvvuudxy++⎛⎞⎛⎞Γ=Δ+Δ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠xuBABuA22CDADuuvvxy++⎛⎞⎛⎞−Δ−Δ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠x,,,,ABcDuuuuuuuuxuuxyuuyxxyy∂∂∂∂==+Δ=+Δ+Δ=+Δ∂∂∂∂,,,.ABcDvvvvvvvvxvvxyvvyxxyy∂∂∂∂==+Δ=+Δ+Δ=+Δ∂∂∂∂⎛⎞2011-5-1117/57vudxyxy⎛⎞∂∂Γ=−ΔΔ⎜⎟∂∂⎝⎠18流体力学72有旋流动7.2有旋流动例：已知不可压缩流体流场中的速度分布为：220;vwuazy===+求沿封闭曲线的速度环量。其中a、b是常数222,0xybz+==求沿封闭曲线的速度环量其中是常数,y解：在z=0的平面上,速度分量0uayvz,0uayvz===涡量分布为0vua∂∂Ω=Ω=Ω==0,xyzaxyΩ=Ω=Ω=−=−∂∂根据斯托克斯定理，有2011-5-1118/572szzAdAabπΓ=Ω=−∫19流体力学72有旋流动7.2有旋流动例判断下列两种流动是否有旋。（1）0ru=r/ukrθ=；（2），。2(2)xUyuyhh=−0yu=yUhhx2011-5-1119/5720流体力学72有旋流动7.2有旋流动解：第一种流动的流场在直线坐标系中的表达式为22xkyuxy−⎧=⎪+⎪22()uukyx∂∂−22yxykxu+⎪⎨⎪=⎪+⎩222()()yxuukyxyxxy∂∂−==∂∂+⇒22yxy⎪+⎩由此可见，0zω=，流动无旋。z第二种流动有：220(1)0yxzuuUyxyhhω∂∂=−=−−≠∂∂2011-5-1120/57故有旋。21流体力学73不可压缩流体连续性方程7.3不可压缩流体连续性方程微分形式的方程可分析流动的细节和分布情况。y()xuuxρρ∂+ΔxuρΔΔyΔzxuxxρ+Δ∂xρxzΔx原理：控制体内流体的质量增长率＝通过控制面流入的质量流量－流出量2011-5-1121/57通过控制面流入的质量流量流出量22流体力学73不可压缩流体连续性方程7.3不可压缩流体连续性方程质量增长率：xyzρ∂ΔΔΔ∂y()xxuuxρρ∂+Δxuρyt∂以x方向为例，流进量：uyzρΔΔxΔxΔyΔzxxρ∂xρxuyzρΔΔxz流出量：()[]xxuuxyzxρρ∂+ΔΔΔ∂x∂x方向通过控制面流进的净质量流量为：()xuxyzxρ∂−ΔΔΔ∂同理得yz方向流进的净质量流量分别为：同理得y、z方向流进的净质量流量分别为：()yuxyzyρ∂−ΔΔΔ∂()zuxyzzρ∂−ΔΔΔ∂2011-5-1122/57y∂z∂从而有()()()[]yzxuuuxyzxyztxyzρρρρ∂∂∂∂ΔΔΔ=−++ΔΔΔ∂∂∂∂23流体力学73不可压缩流体连续性方程7.3不可压缩流体连续性方程化简得()()()0yzxuuuρρρρ∂∂∂∂+++=连续性微分方程化简得0txyz+++∂∂∂∂分方程适用：可压或不可压、定常流与非定常流、理想流态与实际流体