流体力学-第7章-不可压缩流体动力学基础

第七章不可压缩流体动力学基础一、流体微团运动（1）平移（2）线变形（3）角变形（4）旋转变形zyxuuuzuyuxuzzyyxx)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx流体质点运动表达式式中，①项——平移速度分量；③、④项——旋转运动所引起的速度分量；②、⑤、⑥项——角变形、线变形所引起的速度分量。亥姆霍兹速度分解定理dydxdydxdzuudxdzdxdzdyuudzdydzdydxuuxyxyzzzzxzxyyyyzyzxxx000第二节有旋流动与无旋流动一、定义物理特征：流体微团（质点）绕自身轴旋转，称为有旋（涡）流动，反之，为无旋（涡）流动。数学表达，有旋流无旋流0,0,0zyx0,0,0zyx二、无旋流（无涡流）有分析数学可知式成立，流场中一定存在一个函数函数称为流速势函数。0)(210)(210)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzxyuxuxuzuzuyuxyzxyz),,,(tzyxzyxuzuyux流速势函数的二阶偏导，即流速的偏导因为函数的导数值与微分次序无关，所以式成立，一定存在一个势函数，所以，无旋流又称为势流。yxyuxxyxuyxuyuyx0zyuxuxuzuzuyuxyzxyz0,0,0zyx三、有旋流（有涡流）从几何意义上描述，有涡线、涡束、涡管等概念。这些概念与流线雷同。表征涡流的强弱，有涡通量（漩涡强度）、速度环量。（一）涡线定义，某一瞬时，在涡（流）场中，有一条几何曲线，在这条曲线上，各点处的质点（微团）的旋转角速度的矢量都与该曲线相切。与微小流束相似，涡线为光滑曲线，不是折线、两条涡线不相交。（二）涡束、涡管：在涡流场中，取一微小面积，围绕这个微小面积作出的一束涡线——微小涡束。0)(210)(210)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx（三）涡通量（1）涡量定义：涡量旋转角速度矢量涡量是空间坐标和时间的矢性函数，有涡流则构成一个矢量场，也称为涡量场。)(21)(21)(21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx),,,(tzyxkjizyx2yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx哈米尔顿算子是一个矢性微分算子与对照。zyxuuuzyxkiiukyuxujxuzuizuyuxyzxyz)()()(ukjizyx2yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx（2）涡量的连续性方程由数学分析知上式表明，涡量的散度等于0，即（7-2-5）式（7-2-5）为涡量的连续性方程。0)(u0zyxzyx（3）涡线微分方程对于一条涡线，流体质点的旋转角速度矢量与涡线相切，即旋转角速度矢量与涡线方向一致。取一微分段，微分段在空间坐标上的分量与旋转角速度矢量在空间坐标上的分量成正比。即（7-2-6）式（7-2-6）为涡线微分方程。zyxdzdydxds（四）涡通量微小涡束上各点处的旋转角速度可认为是相等的,若微小涡束，其横断面积，旋转角速度为微小涡束的涡通量（漩涡强度）为。也可以表示为：涡通量的符号：dAdAdAnJAAzyxnAdxdydzdxdydzdAdAJ)(有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管各截面的涡量相等，及涡通量为常数，则或（7-2-9）式（7-2-9）表明，涡管截面积愈小，流体的旋转角速的愈大。有旋流：流体的流场是涡量场，也是速度场，涡线、涡管、涡通量，与流速场的流线、流管、流量对应。dAdAAnAn212211AA2211AA五、速度环量在流体力学中也常用速度环量，来表征涡流的强弱。——速度矢量——封闭周线——流速矢与切线的夹角速度环量即速度环量的和数的极限，即沿封闭曲线的积分。uSndsu1cos速度环量符号：切向速度与所周线绕行方向相同，速度环量为正值，反之为负。dsdsuudsudsussn),cos(coscoslim1szyxsdzudyudxudsu)(（一）斯托克斯定理斯托克斯公式：或写为：即Ayxzxyzszyxsdxdyxuyudzdxxuzudydzzuyudzudyudxudsu)()()()(dAdAdAdAdsuAnAzzyyxxs)(AsJ（二）汤姆逊定理对于无涡流，存在流速势函数，当流速势为单值时，在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量都等于0。汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间变化。结论：利用速度环量也可以判断有涡流与无涡流。0dtd推论：根据斯托克斯定理，沿曲线的速度环量等于以该曲线为成都曲面的涡通量。速度环量不随时间变化意味着涡通量也不随时间变化。具有单值势函数的理想流体，如果某一时刻为有旋流，则总是有旋流。如果某一时刻为无旋流，则永远是无旋流。即流体的涡旋具有不生、不灭的性质。第三节不可压缩流体连续性微分方程1.流体运动的连续性微分方程的建立中心点流速前面：后面：密度：),,(zyxuuA2dxxuuxx2dxx2dxxuuxx2dxxdt时段从后面流入的流体质量为dt时段从前面流出的流体质量为规定流入为正，流出为负，dt时段从前后面流入流出的质量差为dydzdtdxxuuxxx)2)((dydzdtdxxuuxxx)2)((dxdydzdtxudxdydzdtxuxuxxx)()(同理，在另外两个对应面流入流出的质量差为Y向：Z向：Dt时段内，从微分六面体各个面流入流出质量差为Dt时段内，微分六面体内质量的变化dxdydzdtyuy)(dxdydzdtzuz)(dxdydzdttdxdydzdtdxdydzdtt)(dxdtdzdtzuyuxuzyx)()()(同一时段内，流入流出六面体总的流体质量的差值=六面体内因密度变化所引起的质量变化。可压缩流体非恒定流的连续性微分方程dxdydzdtzuyuxudxdydzdttzyx)()()(0)()()(zuyuxutzyx对于不可压缩流体：不可压缩均质流体的连续微分方程物理意义：体积守恒（质量守恒）0zuyuxuzyxconst0udiV第四节理想流体运动方程及其积分思路：理想流体实际流体1.理想流体特征（1）理想流体不具有粘滞性：（2）理想流体动水压强的特性:（同实际流体）（3）作用在理想流体上的表面力：仅有正压力无切向力。2.理想流体运动微分方程的建立0中心点压强沿x方向的表面力（前）（后）沿x方向的质量力:),,(zyxPdydzdxxpp)21(dydzdxxpp)21(dxdydzX欧拉运动微分方程（推导）dtduzpZdtduypYdtduxpXzyx1113.实际流体的运动微分方程(N-S方程)(7-6-3)式中为粘性项.为拉普拉斯算子dtduuzpzdtduuypYdtduuxpXzzyyxx222111u222222222zyx4.理想流体运动微分方程的积分对于理想流体运动微分方程，一般质量力已知，密度已知，所以该方程有4个未知量，与连续性微分方程联立，4个方程，4个未知量，应该可解，但是------至今仍未找到它的通解，在特殊情况下有特解。有的讲义用葛罗米柯（Громеко）积分，葛罗米柯将理想流体运动微分方程进行了变换，得到了葛罗米柯方程。葛罗米柯方程也只能在质量力是有势的条件下才能积分。工程流体力学一般用伯努利(D.Bernoulli)积分.zyxuuup,,,0zuyuxuzyxzuuyuuxuutuxpXxzxyxxx1伯努利积分在以下具体条件下积分（1）恒定流（2）流体为均质不可压缩，（3）质量力为有势力（4）沿流线积分0tptututuzyxdpdzzpdyypdxxp),,(zyxWzWZyWYxWXzyxudtdzudtdyudtdxconst积分积分得：dzdtduzpZdydtduypYdxdtduxpXzyx111CupW22当质量力只有重力时，代入上式上式为理想流体元流的能量方程(伯努利方程)实际流体元流的能量方程gZgdzdWCgugpz22cgupz22cupgz22'2222211122lhgupzgupz本章重点一、流体微团运动：平移、线变形、角变形、旋转变形。二、有旋流与无旋流（1）无旋流（势流）存在函数称为流速势函数（2）有旋流（有涡流）三、描述有涡流的概念：涡线、涡束、涡管表征涡流的强弱：涡通量（漩涡强度）、速度环量。四、涡通量(1)涡量(2)涡通量dAnJkjizyx2涡通量根据有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管各截面的涡量相等，即涡通量为常数。2211AAAAzyxnAdxdydzdxdydzdAdAJ)(2211AA五、速度环量（一）斯托克斯定理（二）汤姆逊定理汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间变化。szyxsdzudyudxudsu)(AsJ0dtd六、不可压缩流体连续性微分方程七、理想流体的运动微分方程八、实际流体的运动微分方程(N-S方程)0zuyuxuzyxdtduzpZdtduypYdtduxpXzyx111dtduuzpzdtduuypYdtduuxpXzzyyxx222111九、流场与涡量场对应关系流线：涡线：流线方程：涡线方程：连续性微分方程流量涡通量0zuyuxuzyx0zyxzyxzyxdzdydxzyxudzudyudx2211AA2211AvAv