材料力学chapt11

一、稳定与失稳1.压杆稳定性：压杆维持其自身平衡状态的能力；2.压杆失稳：压杆丧失其自身平衡状态，不能稳定地工作。3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)；②加载偏心；③压杆材质不均匀；④外界干扰力。二、中心受压直杆稳定性分析1.临界状态：由稳定平衡向微弯平衡(不稳平衡)过渡的状态；2.临界载荷Pcr：描述压杆的稳定能力，压杆临界状态所受到的轴向压力。第十二章压杆稳定§12-1压杆稳定性的概念QQQPPcr干扰力去除，恢复直线a)直线稳态干扰力去除，保持微弯干扰力去除，继续变形，直至倒塌c)失稳P=PcrQb)微弯平衡PPcrQQQQQ一、两端铰支压杆的临界力1.思路：求Pcr→临界状态(微弯)→弯曲变形→挠曲线微分方程；2.推导：3.两端铰支压杆的临界力(欧拉公式)：22crLEIP4.注意：（1）弯矩以最终平衡位置（2）I应为压杆横截面的最小惯性矩§12-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式PcrLxyxyxxyyPcrM(x)=PyPy)x(MEIy挠曲线微分方程：0ykyEIPk22，得：引用记号：kxcosBkxsinAy该微分方程的通解为：为积分常数、式中BA0yLx0y0x杆的边界条件：0kLsin0kLsinA0B代入通解得：)210n(LEInP)210n(nLEIPkL222，，，，欧拉公式—临界力为最小压力：22crLEIP失稳模式如图§11-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式.压杆的长度系数欧拉公式的统一形式22cr)L(EIPL：相当长度称为长度系数表111压杆的长度系数压杆约束条件长度系数两端铰支=1一端固定，另一端自由=2一端固定，另一端铰支=0.7两端固定=0.5例121一端固定，另一端自由的细长压杆如图所示。试导出其临界力的欧拉公式。APcrLBd例122导出一端固定、另一端铰支压杆临界力的欧拉公式。22cr)L7.0(EIPABPcrL3.例题：例123试导出两端固定压杆的欧拉公式。PcrLPcrLABdPcrMA=PcrdyxPcrBALLC失稳模式如图ddd0EI)L(MyyLxkEIPEIMy0'y0y0x2crA，：，，：边界条件：0CCCC000kLcoskkLsink11LkLcoskLsink00k00010k0101043212222d分方程的通解得：将边界条件代入统一微0kLcos为：解得压杆失稳特征方程：系数行列式值为零；有非零解的充要条件为)210n(2nLEIPkLcr，，22cr)L2(EIP1n为：压杆临界力的欧拉公式，得一端固定一端自由取相当于2L长两端铰支压杆的临界力失稳模式如图0EI)L(My0yLx0'y0y0x，：，：边界条件：0CCCC00kLcoskkLsink1LkLcoskLsin010k1010432122分方程的通解得：将边界条件代入统一微kLtgkL，解得：利用系数行列式值为零7.0P4.4LEIPkLcr22cr)L7.0(EIP临界力的欧拉公式为：一端固定一端铰支压杆相当于0.7L长两端铰支压杆的临界力yx0.7LyxPcrLABQBPcrMAQAA端QA、MA及B端QB不为零。失稳模式如图0'y0yLx0'y0y0x，：，：边界条件：0CCCC01kLsinkkLcosk1LkLcoskLsin010k10104321分方程的通解得：将边界条件代入统一微0kLsin0kLcos1，解得：利用系数行列式值为零2LEIPkLcr22cr)L5.0(EIP欧拉公式为：两端固定压杆临界力的相当于0.5L长两端铰支压杆的临界力LPcrMMPcr0.5Lyx两端M均不为零。②柔度(细长比)：iL一、欧拉临界应力公式及使用范围1.临界应力：临界力除以压杆横截面面积得到的压应力，用scr表示；2222)/()(iLEALEIAPcrcrs①—横截面对微弯中性轴的惯性半径；AIi§12-4欧拉公式的应用范围.临界应力总图③欧拉临界应力公式：22crEs2.欧拉公式应用范围：①线弹性状态：scr≤sp，即p22Es≤∴p2pp2EEss，则≥②≥p—细长杆(大柔度杆)，欧拉公式的适用范围；③对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：1001020010200692p④用柔度表示的临界压力：AEP22cr二、中柔度杆临界应力的经验公式1.ssscrsp时采用经验公式：①直线公式：sbacr1)∵scrss，∴，得到：sbasbas0s②抛物线公式：211sbacra1和b1是与材料有关的常数。2)p≥≥0—中粗杆(中柔度杆)；3)对于A3钢：6012.1240304bas0s2.scr=sS时:强度破坏，采用强度公式。ss22crEs粗短杆细长杆中粗杆CpspscrO采用直线经验公式的临界应力总图Ascr=ssoBscr=abscr=a1b12ssc0.57ssscrO采用抛物线经验公式的临界应力总图22crEsD三、临界应力总图2.压杆按柔度分类：—细长杆(大柔度杆)p—中粗杆(中柔度杆)0p—粗短杆(小柔度杆)0§12-5压杆的稳定条件.提高稳定性的措施1.压杆稳定条件：ststcrnAN][sss三方面工作：确定许可载荷、稳定性校核、截面尺寸设计(逼近法)；确定nst，除考虑确定安全系数的一般原则外，还应考虑压杆初挠度、荷载偏心等因素影响，故nstn。一、安全系数法作稳定校核2、稳定条件可写成：][][][][ssssss即ststcrn[sst]—稳定许用应力；[s]—许用压应力；1—折减系数，与柔度和材料有关，可查规范。例124确定图示连杆的许用压力[Pcr]。已知连杆横截面面积A=720mm2，惯性矩Iz=6.5×104mm4，Iy=3.8×104mm4，sp=240MPa，E=2.1×105MPa。连杆用硅钢制成，稳定安全系数nst=2.5。xx580700yzPPz580PPLy若在xy面内失稳，=1，柔度为：解：(1)失稳形式判断：7.73720/105.67001A/ILiL4zz若在x-z平面内失稳，=0.5，柔度为：所以连杆将在x—y平面内失稳，其许用压力应由z决定。9.39720/108.35805.0A/ILiL4yy(2)确定许用压力：由表11-2查得硅钢：a=578MPa，b=3.744MPa，ss=353MPa，计算有关的p和0为：ss60744.3353578ba93240101.2Es052p2p可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：由此得连杆的许用压力为：(3)讨论：在此连杆中：z=73.7，y=39.9，两者相差较大。最理想的设计是y=z，以达到材尽其用的目的。kNbaAPcr218)(kN3.875.2218]n[P]P[wcrcr1.细长压杆：提高弹性模量E2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss二、提高稳定性的措施1.采用合理的截面形状：①各方向约束相同时：1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面；2)增大惯性矩I—采用空心截面；②压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等，可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。（二）、从柔度方面考虑（一）、从材料方面考虑2.减少压杆支承长度：①直接减少压杆长度；②增加中间支承；③整体稳定性与局部稳定性相近；PPPLa角钢缀条xy3.加固杆端约束：尽可能做到使压杆两端部接近刚性固接。