流体力学-08绕流运动剖析

2020/4/5第八章绕流运动§8-1无旋流动§8-2平面无旋流动§8-3几种简单的平面无旋流动§8-4势流叠加§8-6绕流运动与附面层基本概念§8-10曲面附面层的分离现象与卡门涡街2020/4/5§8-1无旋流动如果流体流动时所有流体微团仅作平移和变形运动，没有旋转运动，即，则称该流动为无旋流动（势流）。0zyx2020/4/5因此，无旋运动无旋流动的前提条件是：zuxuyuzuxuyuxzzyyx（8—1）dzudyudxuzyx式（8—1）是为某一势函数的全微分的充分必需条件，其中t为参变量，必有tzyx,,,又因dzzdyydxxddzudyudxudzyx说明无旋必有势故zuyuxuzyx,,（8—3）（8—2）2020/4/5xyzuuiujukijkxyzgrad圆柱坐标系zururuzr,1,（8—4）球坐标系sin1,1,RuRuRuR（8—5）2020/4/5证luululzlzylyxlxdldzzdldyydldxxlcos,cos,cos,cos流速势函数的性质：lul（8—8）l1、对于任意方向的方向导数等于该方向的分速，即2020/4/5流速势函数等于常数的曲面积为等势面。在其面上位于等势面上的线称为等势线。常数。zyx,,所以0sdudzudyudxudzzdyydxxdzyx式中sdu—速度向量；—等势面上微元弧向量。2、等势线与流线正交定义：说明：速度u与ds正交。等势线既是过流断面线。一族流线与等势线构成相互正交的流网。2020/4/53、流速势函数沿流线s方向增大。dsdsuus从而得udsd由性质1得沿流线方向的速度为沿流线方向速度，所以，即说明值增大的方向与s方向相同。0u0,0dds2020/4/54、流速势函数是调和函数yuxuyx,代入不可压缩流体的连续方程中得0yyxxyuxuyx从而得222220yx或者（8—9）（8—10)上式说明流速势函数满足拉普拉斯方程式，在数学上称满足拉普拉斯方程式的函数为调和函数，所以流速势函数是调和函数。Laplace平面势流中2020/4/5§8-2平面无旋流动一、平面无旋流动的势函数在不可压缩流体平面流动中，旋转角速度只可能有ωz的分量，如果ωz为零，即：则为平面无旋流动。平面无旋流动的速度势函数为：在流场中，某一方向(取作z轴方向)流速为零，uz＝0，而另两方向的流速ux、uy与上述轴向坐标z无关的流动，称为平面流动。2020/4/5例如工业液槽的边侧吸气，沿长形液槽两边，设置狭缝吸风口。气流由吸风口a吸出，在液槽上方造成x—y平面上的速度场。沿长度方向，即垂直于纸面方向，流速为零。而且沿此方向取任一x—y平面，它的速度场完全一致，这就是平面流动的具体例子(图8—2)。2020/4/5并满足拉普拉斯方程：不可压缩流体平面流动的速度ux，uy可以用下式表示：一切不可压缩流体的平面流动，无论是有旋流动或是无旋流动都存在流函数，但是，只有无旋流动才存在势函数。所以。对于平面流动问题，流函数具有更普遍的性质，它是研究平面流动的一个重要工具。下面我们具体讨论下流函数。直角坐标：极坐标：yuxuyx2020/4/5二、平面无旋流动的流函数yuxuyuxuyxyx0（8—11）即它是使成为某一函数的全微分的充要条件，则有dyudxuxyyx,xuyudyydxxdyudxudyxxy,故（8—12）对于不可压缩流体的平面流动，其连续方程式为2020/4/5就称为不可压缩流体平面流动的流函数。zyx,,类似地可证，在极坐标中rurur,1（8—13）因为流函数存在的条件是要求流动满足不可压缩流体的连续方程式，而连续方程式是任何流动都必须满足的，所以说任何平面流动中一定存在着一个流函数。2020/4/5三、流函数的基本性质因为yxxyudyudxdyudxud0即为流线方程。1、等流函数线为流线2020/4/52、在平面无旋流动中流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。证：平面无旋流动需满足0)(21yuxuxyz则yuxuxy因为yuxuxy,代入上式，得证。02222yx平面无旋流动的流函数和流速势函数之间的关系式为：2020/4/5在数学分析中，这个关系式称为柯西—黎曼条件，满足这个条件的两个调和函数称共轭调和函数，已知其中一个函数就可以求出另一个函数。xyuyxuyx2020/4/5证：考察通过任意一条曲线AB（z方向为单位长度）的流量。（图8—2）对于通过微元矢量的流量ldddxudyudldldxudldyudlynuxnudlnudludQyxyxyxn,cos,cos则通过AB两点的任意连线AB的流量BABAABdQ（8—14）3、两条流线间通过的流量等于两条流线的流函数之差。xyoABdxdynuldun1CAC2CB图8—2流函数与流量的关系2020/4/54、等流函数线（流线）与等势线正交0yxxyuuuuyyxx说明流函数的梯度与速度势的梯度（即速度）正交，故分别与它们垂直的等流函数线（即流线）与等势线正交。这是因为5、流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例。由于等流函数值线（即流线）和等势函数值线（简称等势线）相互垂直，我们可以把流线和等势线绘入同一流场中，得出相应的一系列等势线。这两簇曲线构成正交曲线网格，称之为流网。2020/4/5四、流场中流网的绘制流场中的流网．可以利用流线和等势线相互正交，形成曲线正方网格的特性，直接在流场中徒手绘出。具体绘法是用一张绘图纸，先绘出流场。根据流动的大致方向，试绘一系列流线以及垂直于流线的等势线，形成正交网格。初绘之后，检查不符合流网的特性的地方，用橡皮擦去，重新修改，逐渐形成互相垂直的正方形网格。最后绘成基本上符合流网特性的两簇曲线〔图8-5)。绘制时，抓住边界条件是重要的。一般说来，固体边界都是边界流线；过水断面或势能相等的线，都是边界等势线。对于给定流场，绘出边界等势线和边界流线，就确定了流网的范围。2020/4/5§8-3几种简单的平面无旋流动一、均匀直线流babuauyx和,,设液体作平行直线等速流动，流场中各点速度的大小和方向均相同，即均为定值。而流函数为由于aybxadybdxdyxdxydyydxxdbyaxbdyadxdyydxxdbuyauxyx故,,于是，速度势为又（8—17）（8—17）2020/4/5xoyC图8—3平行等速流变为极坐标方程为：速度势与流函数在直角坐标上表示如下图：2020/4/5流体从某一点径向流出称为源，如图8—4（a）所示。流体从某一点径向流入称为汇，如图8—4（b）所示。设半径r方向水层的厚度为1，源（汇）的流量为Q，则rQrQrr212常数由此xxyy（a）（b）图8—4源与汇二、源流和汇流定义：2020/4/5由于源汇只有径向流动，所以圆周方向的速度分量。0在极坐标中，由式（8—7）rCCrQrrQrr21,ln201,2积分得rQln2（8—18）据流函数得：21,20,21DDQrrQrr积分得式中分别是关于的积分常数，根据上面两个应该相等，得rCC21和r和rQrCCln2)(,0)(212020/4/5式中分别是关于的积分常数，由两个应该相等，得21DrD和和r2Q（8—19）2)(,0)(21QDrD故假定流出流量为正，则源流取“”号，汇流取“-”号。源汇流的等势线为一组同心圆。2020/4/5现在我们来研究流体的圆周运动，即只有圆周方向速度，而径向速度。如图8—5所示，并且定义速度在圆周切线上的线积分为速度环量（环流强度），即0r三、环流rrrrrrdr21,02220所以由式（8—6）（8—20）积分得rrrr2,0122020/4/5rDrrDln2ln2,21积分得（8—21）等势线是一族射线。oxy图8—4（a）环流应当注意，环流是圆周流动，但却不是有旋流动。因为，除了原点这个特殊的奇点之外，各流体质点均无旋转角速度。2020/4/5四、直角内的流动假设无旋流动的速度势为：则流函数全微分为2020/4/5§8-4势流的叠加由于势流的速度满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。设有两个势流，其速度势分别为，则21和00222222212212yxyx（8—24）此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面势流，其速度势21（8—25）2020/4/5因为0222222212212221222122222yxyxyxyx（8—26）即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量21212121yyyxxxuuyyyuuuxxxu（8—27）同理可证明，新的复合流动的流函数21（8—28）2020/4/5叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原始势流的速度势或流函数简单地相加，其速度将是各原始势流速度的矢量和。势流的叠加原理：2020/4/5一、均匀直线流中的源流将源流和水平匀速直线流相加，坐标原点选在源点，则流函数：由此可以用极坐标画出流速场，如图8-12。这是绕某特殊形状物体前部的流动。在源点0，流速极大。离开源点．流速迅速降低。离源点较远之处，流速几乎不受影响，保持匀速v0。但在离源点前其一距离xs，必然存在着某一点s，匀速流速和源流在该点所造成的速度，大小相等，方向相反，使该点流速为零，这一点称为驻点。它的位置xs可以根据势流叠加原理来确定：2020/4/5二、匀速直线流中的等强源汇流在匀速直线流中，沿x轴叠加一对强度相等的源和汇，这样的叠加势流，可以用以描述下图所示的绕朗金椭圆的流动。l/2l/2p(x,y)yxb/2b/2aassθθ12匀速直线流中的等强源汇流的流函数为：)(20axyarctgaxyarctgQyv驻点在物体的前后，它流速为零的条件为：0)2(2)2(20valQalQ012vaQal得出：2020/4/5若将位于点，强度为Q的源与位于B点等强度的汇叠加（图8—5）令分别为源与汇的速度势和流函数，则叠加后某点的速度势0,aA0,a2121和，和yxP,222221ln4ln2ln2ln2