一元气体动力学基础

一元气体动力学基础安徽建筑工业学院环境工程系王造奇INDEX理想气体一元恒定流动的基本方程可压缩气流的几个基本概念变截面的等熵流动可压缩气体的等温管道流动可压缩气体的绝热管道流动理想气体一元恒定流动的基本方程可压缩气体密度变化1.连续性方程积分形式微分形式cvA0AdAvdvd2.状态方程RTpR——气体常数（空气：287J/kg·K）3.能量方程复习：平衡微分方程01dsdpSS——S方向质量力扩展：运动微分方程dsdvvdtdsdsdvdtdvdsdpFS1理想气体：F=0浮力与重力平衡：S=0dsdvvdsdp1——欧拉运动微分方程0vdvdp——理想气体一元恒定流的能量方程cvdvdp一些常见的热力过程（1）等容过程积分：cvp22——机械能守恒（2）等温过程代入积分得pRT1cvpRT2ln2可压缩理想气体在等温过程中的能量方程（3）绝热过程理想气体的绝热过程→等熵过程cpkvpcck——绝热指数代入积分得cvpkk212或cvppk2112证明：pkpcccccpcRpcTcuvpvvpvvv11cvpu22可压缩理想气体在绝热过程中的能量方程或cvh22puh——焓内能u（4）多变过程cpnvpccccn——多变指数cvpnn212可压缩理想气体的能量方程n=0等压过程n=1等温过程n=k绝热过程n→±∞等容过程例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空气的质量流量解：喷管——等熵过程空气k=1.4R=287J/kg·KT——热力学温标（K）p——绝对压强解题思路：状态（过程）方程、连续性方程、能量方程绝热过程方程KppTTkk2.2813.1014203.1013502934.114.111212状态方程3111/199.6mkgRTp3222/592.5mkgRTp连续性方程1221112434.4vAAvv能量方程212122222111vpkkvpkk解得smv/66.351skgAvQm/735.1111例2：理想气体在两个状态下的参数分别为T1、p1和T2、p2（1）密度的相对变化率RTp1212121111221121pTpTTpTpTpTp密度相对变化率（2）内能变化1212TTcuuuv25RcvKkgJR/287（3）焓的变化1212TTchhhp27Rcp（4）熵的变化121212lnlnppRTTcSSSpTdQdsdppddTCpddudQv1pddTCRTddTCRdTdTCdTCdhvvvpdpdhdQpdpRTdTCTdpTdhdSp可压缩气流的几个基本概念1.音速声音的传播是一种小扰动波连续性方程动量方程略去高阶微量，得AdtdvadaAdtdvadaAdvpAAdppddpa——音速定义式液体：EaddpE气体：视作等熵过程cpk微分：kRTpkadppkdp解得advdp得讨论：（1）音速与本身性质有关（2）dpda1dpd/越大，越易压缩，a越小音速是反映流体压缩性大小的物理参数（3）TVpfTfa,,当地音速（4）空气Ta2874.1KT288sma/3402.滞止参数（驻点参数）设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的参数称为滞止参数v0=0——滞止点（驻点）00000,,,,haTp002121pkkvpkk02121RTkkvRTkk1212022kavka022hvh性质：（1）在等熵流动中，滞止参数值不变；（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；（3）气流中最大音速是滞止音速；（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为内能，总能量不变——T0，a0，h0不变，p0↓，ρ0↓，但p0/ρ0=RT0不变。如有能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓00kRTa3.马赫数avM微小扰动在空气中的传播M1亚音速流动M=1音速流动M1超音速流动马赫锥马赫角α：Mva1sin例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h（510m/s）飞行，空气温度t=15℃（288K），A点要过多长时间听到飞机声？解：smkRTa/3405.1340510avM8.411arcsinMHctgvtlsctgctgvHt38.48.415102000αvlαHA4.滞止参数与马赫数的关系220211211MkkRTvkTT02121RTkkvRTkk12100211kkkkMkTTpp1121100211kkMkTT2122100211MkTTaa由例：容器中的压缩气体经过一收缩喷嘴射出，出口绝对压力p=100kPa，t=-30℃，v=250m/s，求容器中压强和温度解：喷口处smkRTa/5.312pkPaMkppkk4.1528.0214.1110021114.14.121208.05.312250avMt℃KMkTT1.11.2748.0214.1130273211220TpTp、、005.气体按不可压缩处理的极限空气k=1.4密度相对变化%1.2100取M=0.2取M=0.4%2.80一般取M=0.2t=15℃时，v≤M·a=0.2×340=68m/s变截面的等熵流动1.气流参数与变截面的关系由连续性方程欧拉微分方程0AdAvdvd0vdvd及ddpa2avMRTp常数kp得vdvMAdA12pdpkMMAdA221dMMAdA221TdTMkMAdA22112.讨论dv与dp、dρ、dT异号流动参数M1M1渐缩管渐扩管渐缩管渐扩管流速v压强p密度ρ温度T增大减小减小减小减小增大增大增大减小增大增大增大增大减小减小减小一元等熵气流各参数沿程的变化趋势（1）亚音速流动：A↑→v↓(p,ρ,T)↑由于速度变化的绝对值大于截面的变化112M（2）超音速流动：A↑→v↑(p,ρ,T)↓由于密度变化的绝对值大于截面的变化1122MMvAcvA，（3）音速流动——临界状态（临界参数*）最小断面才可能达到音速拉伐尔喷管avavav压强下降扩压管avavav压强上升引射器（喷管+扩压管）例：滞止参数为p0=10.35×105Pa，T0=350K的空气进入收缩喷管，出口截面的直径d=12mm，当出口的外部环境压力Pa（背压）分别为7×105Pa和5×105Pa，计算喷管的质量流量解：空气k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K（1）临界参数p*2.1211*0kTT1*0*0kkTTppPapp50*104677.55283.0（2）当pa=7×105PaP*kkppTT100喷管出口压强Pappa5107KTT3138943.003/7924.7mkgRTpsmTTCvp/44.27220skgvAQ/3752.0（3）当pa=5×105PaP*出口参数均按临界参数p*、T*、ρ*KTT67.2912.10*smkRTav/33.342**3***/5318.6mkgRTpskgAvQ/3951.0**可压缩气体的等温管道流动管道——d不变有摩擦，实际气体1.基本方程（1）连续性方程cA0vdvd（2）等温过程cpdpdp（3）运动微分方程22vddldhf常数dkfRe,（复习：）0vdvdp拓展：022vddlvdvdp或0222dldvdvvdp气体管道运动微分方程（☆）2.基本计算公式（1）压强ppcp1111vvcv111vvpp121121pvpv代入式（☆）积分022012112121lppvvdldvdvpdppvdlvvvppp1221112221ln2dlvppp21112221可略或TvpfdlRTvpdlpvpp1121112111211同除21pp2122111221vdlpppp大于1类比不可压缩气体2221vdlpp管长越长，p2越小，压缩性不可忽略（2）质量流量2114dvG22215216pplRTdG3.等温管道流动特征由连续性方程vdvd等温过程方程dpdp以及avMpkkRTaddlkMkMdpdpvdv2122得讨论：流动参数流速v压强p密度ρ温度T滞止温度T0增大减小减小不变增大减小增大增大不变减小kM1kM1等温管流各参数沿流程变化的趋势1.dv与dp、dρ异号；2.kM1增速减压，体积膨胀，对外作功，能量下降，需外界输入能量，T0↑；kM1减速增压，体积收缩，向外界输出能量，T0↓；3.kM1是临界值，临界值只能是出口断面4.极限管长222MdMMdMdMvavMadvdv2222221MdMddlkMkMvdv积分kMldMMkMkdld124201max111212121maxln1MfkMkMkMld例：氦气在直径d=200mm、长l=600m的管道中作等温流动，进口断面v1=90m/s、p1=1380kPa、t=25℃，氦气k=1.67、R=2077J/kg·K，管道λ=0.015，求（1）出口断面p2、v2；（2）如按不可压缩气体处理，求p2；（3）极限管长解：（1）3111/23.2mkgRTpkPadlpvpp7.8841121112smppvvv/4.1402112112校核smkRTa/7.10162774.01138.0222kavM计算有效（2）如按不可压缩气体处理kPakPavdlpp7.8846.973221112（3）极限管长0885.011kRTvM代入极限管长公式ml948max可压缩气体的绝热管道流动有摩擦，无热量交换1.基本方程（1）状态方程TdTdpdp（2）绝热过程方程cpkRTpdkpdp（3）运动微分方程同等温过程，但λ不是常数在亚音速时，可认为与不可压缩气体相近2.基本计算公式（仿照等温过程的推导）（1）压强dlvvppkkvpkkkkk2ln1112121121111dlvpkkppkkkkk21211111112可略（2）质量流量dlpppkkvkk211112111kkppRTpkklddvG112121522111184将k=1代入，就是等温流动的p、G3.绝热管道流动特征ddlMMTdTkp