一元气体动力学基础概述

一元气体动力学基础目录理想气体一元恒定流动的基本方程可压缩气流的几个基本概念变截面的等熵流动可压缩气体的等温管道流动可压缩气体的绝热管道流动第一节理想气体一元恒定流动的基本方程可压缩气体密度变化1.连续性方程积分形式微分形式cvA0AdAvdvd2.状态方程RTpR——气体常数（空气：287J/kg·K）3.能量方程复习：平衡微分方程01dsdpSS——S方向质量力扩展：运动微分方程dsdvvdtdsdsdvdtdvdsdpS1浮力与重力平衡：S=0dsdvvdsdp1——欧拉运动微分方程0vdvdp——理想气体一元恒定流的能量方程cvdvdp一些常见的热力过程（1）等容过程积分：cvp22——机械能守恒（2）等温过程代入积分得pRT1cvpRT2ln2可压缩理想气体在等温过程中的能量方程（3）绝热过程理想气体的绝热过程→等熵过程cpkvpcck——绝热指数代入积分得cvpkk212或cvppk2112证明：pkpcccccpcRpcTcuvpvvpvvv11cvpu22可压缩理想气体在绝热过程中的能量方程或cvh22puh——焓内能u（4）多变过程cpnvpccccn——多变指数cvpnn212可压缩理想气体的能量方程n=0等压过程n=1等温过程n=k绝热过程n→±∞等容过程例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度t1=20℃，压强p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强p2=350kPa，已知当地大气压pa=101.3kPa，求通过空气的质量流量解：喷管——等熵过程空气k=1.4R=287J/kg·KT——热力学温标（K）p——绝对压强解题思路：状态（过程）方程、连续性方程、能量方程绝热过程方程KppTTkk2.2813.1014203.1013502934.114.111212状态方程3111/199.6mkgRTp3222/592.5mkgRTp连续性方程1221112434.4vAAvv能量方程212122222111vpkkvpkk解得smv/66.351skgAvQm/735.1111例2：理想气体在两个状态下的参数分别为T1、p1和T2、p2（1）密度的相对变化率RTp1212121111221121pTpTTpTpTpTp密度相对变化率（2）内能变化1212TTcuuuv25RcvKkgJR/287（3）焓的变化1212TTchhhp27Rcp（4）熵的变化121212lnlnppRTTcSSSpTdQdsdppddTCpddudQv1pddTCRTddTCRdTdTCdTCdhvvvpdpdhdQpdpRTdTCTdpTdhdSp第二节音速、滞止参数、马赫数1.音速声音的传播是一种小扰动波连续性方程动量方程略去高阶微量，得AdtdvcdcAdtdvcdcAdvpAAdppddpc——音速定义式液体：EcdpEd气体：视作等熵过程cpk微分：pckkRTpdpkdp解得cdvdp得讨论：（1）音速与本身性质有关（2）dpdc1dpd/越大，越易压缩，c越小音速是反映流体压缩性大小的物理参数（3）TVpfTfc,,当地音速（4）空气Tc2874.1KT288smc/3402.滞止参数（驻点参数）设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的参数称为滞止参数v0=0——滞止点（驻点）00000,,,,hcTp002121pkkvpkk02121RTkkvRTkk1212022kcvkc022hvh性质：（1）在等熵流动中，滞止参数值不变；（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；（3）气流中最大音速是滞止音速；（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为内能，总能量不变——T0，c0，h0不变，p0↓，ρ0↓，但p0/ρ0=RT0不变。如有能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓00kRTc3.马赫数cvM微小扰动在空气中的传播M1亚音速流动M=1音速流动M1超音速流动马赫数的物理意义：在可压缩流动中，马赫数是一个重要的无量纲参数，在第六章里我们将看到马赫数表征流体的惯性力与压缩的弹性力之比。M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小，速度的变化不会引起气体温度的显著变化，对不可压流体来说，不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。马赫数还代表单位质量气体的动能和内能之比，即222(1)22121VMpcT动能内能M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小，速度的变化不会引起气体温度的显著变化，对不可压流体来说，不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。流动参数增加为四个：p、ρ、T、和υ，已经有了三个基本方程，它们是：状态方程、连续方程和理想流的动量方程（即欧拉方程）。马赫锥马赫角α：Mvc1sin3.微弱扰动波在气体中的传播(1).扰动源在静止气体中的传播.①V=0,如图,微弱扰动波的前缘是以0为球心的球面.②Va,如图,扰动波前缘始终赶在扰动源的前面.微弱扰动波可达到空间任何一点.③V=a,如图,扰动波和扰动源同时达到空间某一位置.扰动波只能在绕动源下游的半个空间内传播.④Va,如图,扰动源永远赶在扰动波前面.扰动波被限制在以扰动源为锥顶的圆锥内.在平面流动中就被限制在夹角为θ的两条马赫线内.θ又称为马赫角,马赫锥外面的气体不受扰动的影响,称为“寂静区域”.(2)扰动源在流动气体中的传播气体与扰动源运动速度大小相等,方向相反,扰动源为一不动点.|V|a,扰动波可达到空间任何一点.|V|a,扰动波只能在马赫锥内顺流传播,不能逆流传播.上游流场不受下游任何扰动的影响.,,90,MaVMVa1sin马赫数锥面的气体不受扰动的影响，故又称为寂静区。由于扰动波不能传播到马赫锥的外部，因此，当飞机作超音速飞行时，我们在飞机的前方听不到飞机发出的声音，只有飞机掠过我们的头顶之后，才能听到飞机的轰隆声。由此可见，陆上的交通车辆不应以超音速行驶，否则行人听不到疾驶过来的车辆鸣笛的声音。以上是扰动源以速度在静止，气体中运动时微弱扰动波的传播情况。如果扰动源静止，气体以速度向右运动，这时，扰动波在气流中的传播情况也可以用图11—2表示，这样可以看到，亚音速流和超音速流的一个根本差别：在亚音速流动中，微弱扰动可以传播到空间任何一点，而在超音速流动中，扰动只能在马赫锥内部传播。例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h（510m/s）飞行，空气温度t=15℃（288K），A点要过多长时间听到飞机声？解：smkRTc/3405.1340510cvM8.411arcsinMHctgvtlsctgctgvHt38.48.415102000αvlαHA4.滞止参数与马赫数的关系220211211MkkRTvkTT02121RTkkvRTkk12100211kkkkMkTTpp1121100211kkMkTT2122100211MkTTcc由例：容器中的压缩气体经过一收缩喷嘴射出，出口绝对压力p=100kPa，t=-30℃，v=250m/s，求容器中压强和温度解：喷口处smkRTc/5.312pkPaMkppkk4.1528.0214.1110021114.14.121208.05.312250cvMt℃KMkTT1.11.2748.0214.1130273211220TpTp、、005.气体按不可压缩处理的极限空气k=1.4密度相对变化%1.2100取M=0.2取M=0.4%2.80一般取M=0.2t=15℃时，v≤M·c=0.2×340=68m/s第三节气体一元恒定流动的连续性方程1.气流参数与变截面的关系由连续性方程欧拉微分方程0AdAvdvd0dpvdv及ddpc2cvMRTp常数kp9-3-29-1-1得vdvMAdA12pdpkMMAdA221dMMAdA221TdTMkMAdA22119-3-32.讨论dv与dp、dρ、dT异号流动参数M1M1渐缩管渐扩管渐缩管渐扩管流速v压强p密度ρ温度T增大减小减小减小减小增大增大增大减小增大增大增大增大减小减小减小一元等熵气流各参数沿程的变化趋势（1）亚音速流动：A↑→v↓(p,ρ,T)↑由于速度变化的绝对值大于截面的变化112M（2）超音速流动：A↑→v↑(p,ρ,T)↓由于密度变化的绝对值大于截面的变化1122MMvAcvA，（3）音速流动——临界状态（临界参数*）最小断面才可能达到音速拉伐尔喷管cvcvcv压强下降扩压管cvcvcv压强上升引射器（喷管+扩压管）•拉瓦尔管或喷管对一维等熵管流，如想让气流沿管轴线连续地从亚音速加速到超音速，即始终保持dυ＞0，则管道应先收缩后扩张，中间为最小截面，即喉道。例：滞止参数为p0=10.35×105Pa，T0=350K的空气进入收缩喷管，出口截面的直径d=12mm，当出口的外部环境压力Pa（背压）分别为7×105Pa和5×105Pa，计算喷管的质量流量解：空气k=1.4，R=287J/kg·K，Cp=7R/2=1004.5J/kg·K（1）临界参数p*2.1211*0kTT1*0*0kkTTppPapp50*104677.55283.0（2）当pa=7×105PaP*kkppTT100喷管出口压强Pappa5107KTT3138943.003/7924.7mkgRTpsmTTCvp/44.27220skgvAQ/3752.0（3）当pa=5×105PaP*出口参数均按临界参数p*、T*、ρ*KTT67.2912.10*smkRTav/33.342**3***/5318.6mkgRTpskgAvQ/3951.0**【例5-4】若飞机在3000m高空以马赫数3的速度等速飞行问机翼表面可能达到的最高温度是多少？假定流动是绝热的解：把坐标系固定在飞机上，气流则以3.0aM的速度流向飞机。机翼前缘驻点处的温度最高由大气参数表查得3000m高空的温度为269TK所以驻点温度为21126910.29753.22akTTMK如果在大气中飞行的aM数很高（如返回地球的高超声速飞行器），由这种气动加热所造成的高温将会产生严重的烧蚀问题300K【例5-5】一超声速风洞，由高压气源供气，若气罐内气体温度为风洞实验段进口的马赫数为3.0,求气流的温度,设流动绝能解：气罐内的温度即为总温，绝能流动中总温不变，所以实验段进口气流的温度为002300107.14166110.2912aTTKCkM可见实验段进口气流的温度非常低，如果空气中含水分，这时将会结成冰粒甚至形成凝结激波。因此，高超声速风洞为防止空气成分因低温液化需对工质事先加热第四节等温管路中的流动管道——d不变有摩擦，实际气体1.基本方程（1）连续性方程cA0vdvd（