高等几何课件上课版

高等几何多媒体课件教师授课助手学生自修向导——课程概论一、高等几何的内容高等几何数学与应用数学专业主干课程之一前三高数学分析高等代数高等几何后三高实变函数近世代数点集拓扑高等几何射影几何几何基础……本课程主要介绍平面射影几何知识(教材前五章)综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何,一个学期课程概论一、高等几何的内容什么是射影几何？直观描述欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何鸟瞰下列几何学欧氏几何(初等几何)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量搬动正交变换对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果欧氏几何研究图形的正交变换不变性的科学(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形的仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性比如——平行性、两平行线段的比等等射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形的射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性比如——几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的方法综合法给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容解析法形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程以解析法为主，兼用综合法课程概论一、高等几何的内容二、高等几何的方法三、开课目的•学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三四、几何的发展历史线索射影几何学是一切的几何学──[英]Cayley经验几何（远古─元前600年）论证几何（欧氏几何）演绎化（元前600年─400年）积累了丰富的经验，但未上升成系统理论埃及几何跟希腊逻辑方法相结合，以抽象化、逻辑化为特点非欧几何几何基础（公理几何）解析几何射影几何微分几何拓扑学画法几何解析几何(17世纪)仿射几何（坐标法）代数几何代数法代数曲线代数曲面代数族域上多胞形微分几何(19世纪)（分析方法）张量分析微分流形、黎曼流形、复流形大范围微分几何射影几何(19世纪)（综合法、爱尔兰根纲领代数法）四、几何的发展历史线索非欧几何罗氏几何黎曼几何（19世纪）四、几何的发展历史线索拓扑学（几何与代数、分析相结合，多样化发展）点集拓扑代数拓扑解析拓扑分形几何微分拓扑微分流形纤维丛•周学时2，一个学期，学习第一章～第五章五、课程简介•主要参考书：•梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版，2008年;•朱德祥、朱维宗等编《高等几何》（第二版）,高等教育出版社出版，2010年;•罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月；•朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。•周兴和编《高等几何》，科学出版社，2010年第一章仿射坐标与仿射变换本章地位学习射影几何的基础本章内容阐明仿射变换的概念，研究仿射变换的不变量与不变性质。学习注意仿射变换在初等几何中的应用1.1透视仿射对应一、概念与b交于''',,,ABC,,ABC1、同一平面内两直线a到b间的透视对应，设L为平面上另外一直线,a与b不平行。过a上的点作与L平行的直线即得a到b的一个一一映射，称为透视仿射对应。注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交点称为自对应点。第一章、仿射坐标与仿射变换两条直线间的透视仿射对应LaboABCA/B/C/特征：对应点的连线互相平行两个平面间的透视仿射对应M1ABCA1B1C1L特征：对应点的连线互相平行2、单比1)设12,,PPP为共线三点P1P2P为共线三点12,,PPP的单比，12,PP叫基点P叫分点。12,PPPP是有向线段12,PPPP的数量第一章、仿射坐标与仿射变换1122()PPPPPPP称2).符号(P1P2P)表示一个数,是有向线段P1P与P2P的比值,与解几中的定比分点反号.3）单比与定比的区别§1透视仿射对应二、性质1、保同素性和结合性2、保单比不变3、保平行性•1.2仿射对应与仿射变换一、概念设同一平面内有n条直线，12,,,naaa如下图12,,,n是12231,,,nnaaaaaa到到到的透视仿射对应经过这一串对应，得到1naa到的透视仿射对应，这个对应称为1naa到的仿射对应。记作：121nn如图所示：直线间的仿射对应平面间的仿射对应二、性质为什么？（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点的单比不变；（3）保持直线的平行性不变。注：仿射对应下，对应点的连线不一定平行。定义2.2若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）例１、平行四边形经仿射（对应）变换仍变为平行四边形例２、两平行线段之比经仿射对应不变例３、仿射对应保持平形性不变1.3仿射坐标系１、定义笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫做仿射坐标系，''(,)xy叫点'P的仿射坐标记为'''(,)Pxy的仿射坐标为２、设共线三点123,,PPP112233(,),(,),(,)xyxyxy则单比为31311233232(,,)xxyypppxxyy3、仿射变换的坐标表示•已知仿射坐标：仿射变换为:T•变换将：•且'''1212132311211222,,{;,}a,),(,),(,)oeeoeeaaaaa在下的坐标分别为：（12{,,}oee12{,,}oee'''12{,,}oee平行四边形变为平行四边形，且保持单比不变，故在坐标系中的坐标为(x,y)oo/pp/pxpypx/py/xyy/x/xyOPPP'''xyOPPP'P'''12{;,}Oee一方面：,•另一方面：''''''1312321213123211121212122211121312122232()()()()opooopaeaexeyeaeaexaeaeyaeaeaxayaeaxayae'111213'212223xaxayayaxaya'''12OPxeye所以例1已知三点求仿射变换T使顺次变为.•练习：1、求使直线分别变为的仿射变换。•2、已知仿射变换•求点•的像点，及直线的像直线。//213xxyyxy(0,0),(1,1),(1,1)OEP111(2,3),(2,5),(3,7)OEP0,0,210xyxy0,0,210xyxyxy12(1,0),(1,0)PP20xy4、特殊的仿射变换正交变换位似变换'1'2,1xaxbydybxayd'22221112131121122211122122'212223,1,0xaxayaaaaaaaaayaxaya'13'23,0xkxakykya相似变换压缩变换'',0xaxabyby1.4仿射性质•一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（量）•同素性，结合性，平行性是仿射性质。•单比是仿射不变量。证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线•证明：设变换为：T:'1112'22111222,:,://uvxaxAlulvuvybyuvlluvuv直线即''11111''22222uvvuvAAAuvvuv例1二、重要结论：•1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。2、共点直线仍变为共点直线3、两平行线段之比是仿射不变量。4、两三角形面积之比是仿射不变量（证明见课本）5、两个多边形面积之比是仿射不变量6、两封闭图形面积之比是仿射不变量设在笛卡尔直角坐标系下椭圆方程为•例2、求椭圆的面积'2222222'1o,,xxxyxyaaabyyboBBCD作变换变为在仿射变换下：ABCODyx220,1122COBDBsssasabssaba椭圆椭椭即第二章射影平面本章地位学习平面射影几何的基础本章内容定义射影平面，引入齐次坐标，学习对偶原则附带一个重要定理Desargues透视定理学习注意认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰§2.1射影平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1':ll因此，φ–1:l'→l是l'到l的中心射影OP投射线P'l上的点P在l'上的像Pl'上的点P'在l上的像OV'//l,与l不相交，V'为l'上的影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应!X=l×l'自对应点OU//l',与l'不相交，U为l上的影消点三个特殊点：(')OOll投射中心§2.1射影平面一、中心射影2、平面到平面的中心射影定义2':OP投射线P'π上的点P在π'上的像Pπ'上的点P'在π上的像因此，':1是π'到π的中心射影自对应直线(不变直线)三条特殊的线：'x，u为由影消点构成的影消线'//,,OUuUu，v'为由影消点构成的影消线//','',''OVvVv影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应(')OO投射中心§2.1射影平面一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1':ll2、平面到平面的中心射影定义2':}均不是一一对应中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一一对应？给平行线添加交点！一、中心射影二、无穷远元素目标：改造空间，使得中心射影成为双射途径：给平行直线添加交点要求：不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定惟一一个点(交点)两个相异点确定惟一一条直线(连线)}点与直线的关联关系§2.1射影平面§2.1射影平面二、无穷远元素约定1.1(1)在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点.称为无穷远点(理想点)，记作P∞(2)相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同.区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P约定1.1(3)按约定(1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.§2.1射影平面理解约定1.1(1),(2)1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点.平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数.4、不平行的直线上的无穷远点不同.因而，对于通常直线：两直线平行不平行交于惟一无穷远点有穷远点平面上任二直线总相交5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点.6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.§2.1射影平面理解约定1.1(3)1、无穷远直线为无穷远点的轨迹.无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行.因而，对于通常平面：两平面平行不平行交于惟一无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线§2.1射影平面三、射影平面仿射直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、区别（1）欧氏直线：向两个方向无限伸展欧氏直线仿射直线射影直线pP添加去掉不分欧氏平面仿射平面射影平面l