2010-2011年黄冈高中自主招生数学试题及答案[1]

2010年黄冈高中特招考试数学试题（满分：120分时间120：分钟）一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知2152522xx，则221525xx的值为（）A．3B．4C．5D．62、关于x的不等式组axxxx＜＞235352只有5个整数解，则a的取值范围是（）A．2116＜＜aB．2116＜aC．2116a＜D．2116a3、如图，用红、黄、蓝三色将图中区域A、B、C、D染色，要求有公共边界的区域不能染成相同的颜色、则区域A恰好染蓝色的概率是（）A．61B．41C．125D．314、如图，P是函数)0(21＞xxy图像上的一点，直线1xy分别交x轴、y轴于点A、B，作PM⊥x轴于点M，交AB于点E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F，则AF·BE的值为（）A．2B．1C．2D．215、已知cba,,满足1abc，2cba，3222cba，则111111bcaabccab的值为（）A．32B．21C．21D．32二、填空题（每小题5分，共25分）6、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°,BC＝CD,E是AD延长线上一点。若DE＝AB＝3,CE＝24,则AD的长是。7、若关于x的方程mxx1有解，则实数m的取值范围是。8、已知是方程020102xx的一个正根，为其另一根，则代数式20101201012010的值为。9、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝4,BC＝3,若点I和点O分别为△ABC的内心和外心，则线段IO的长为。10、使5zyx，3zxyzxy（x，y均为实数）成立的实数z的最大值。三、解答题（共70分）11、（12分）在黄冈中学“校俱杯”乒乓球比赛中，有8名选手被分到同一小组进行单循环赛（每两名（第3题图）（第4题图）（第6题图）选手比赛一场），分别用ix，iy表示第i（i＝1、2、3、4、5、6、7、8）名队员的胜与负的场数。求证：2221xx……2ix2221yy……2iy。12、（14分）如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝1,PB＝2,PC＝3.（1）求∠APB的度数；（2）求正方形ABCD的面积。13、已知抛物线122:221mamamxaxyl（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线2l的顶点B在y轴上，且两抛物线关于点P（1，3）成中心对称。（1）当a＝1时，求m的值和抛物线2l的解析式；（2）设2l与x轴的正半轴交于点C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值。14、（14分）如图，锐角△ABC的外接圆的切线PB，PC交于点P，M是BC的中点。求证：∠BAN＝∠CAP。15、（16分）已知抛物线cbxaxy2（a≠0）上有两点),(111ymA，),(222ymA满足0)(21212yyayya（1）求证：抛物线cbxaxy2（a≠0）必与x轴有两个不同的交点。（2）记抛物线cbxaxy2（a≠0）与x轴的两个交点为（1x，0）、（2x，0）。若1x，2x均为正整数。求证：1m，2m中必存在一个im（i＝1或2），使得1222121iimxxmxx。2010年黄冈高中特招考试数学试题参考答案1、C2、C3、D4、B5、A6、57、m≥0或m≤－18、09、5210、13311．证明：因为每名选手比赛的场次相等，都为7场，即11xy22xy…＝887xy.又因为在整个比赛中胜与负的总场次相等，即12xx…＋8x12yy…＋8y所以222222128128()()xxxyyy＝222222112288()()()xyxyxy＝111122228888)())())()xyxyxyxyxyxy（（（＝7［128128()()xxxyyy］＝0∴222222128128xxxyyy12．解：(1)将△ABP绕点P顺时针旋转90°，因为ABCD为正方形，故A与C重合．设点P旋转至点Q，连结PQ．∵BQ=BP=2，∠PBQ=90°，∴PQ=22，∠BQP=45°．有CQ=AP=1,PC=3，且222122)3（，∴222PQQCPC，∴∠PQC=90°．∴∠BQC=135°∴∠APB=∠BOC=135°．(2)过B作BH⊥AP交AP的延长线于点H．则BH=PH=222BP，AH＝21，由勾股定理得222(21)(2)AB＝522.(也可用余弦定理计算)∴2522ABCDSAB正方形.13．解：(1)当a＝1时，22221yaxamxamm＝2()21xmm，∴顶点A的坐标为(m，2m＋1)．依题意可设B(0，t)，∵A、B关于点P对称，故02216mmt∴m＝2，t＝1．∴B点坐标为(0，1)．∵l1与l2关于点P成中心对称，∴两抛物线的开口大小相同，方向相反，得l2解析式为21yx．(2)∵AB＝22(20)(51)255所以当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况：①若BC=AB=25，则OC＝22BCOB＝19故C点的坐标为（19，0）∵C（19，0）在抛物线21yax上，∴a＝119.②若AC=BC，设C点的坐标为(x，0)，作AD⊥x轴于点D，在Rt△OBC中，221BCx，在Rt△ADC中，22(2)25ACx,由21x2(2)25x，解得x＝7．∵C(7，0)在抛物线21yax上，∴a＝149.综上可知，使△ABC为等腰三角形a的值有两个，a1＝119,a2＝149.14、证明：过C作CH⊥AB于H，连结MH、PM，则PM⊥BC．∵M为BC的中点，∴BM=MH=MC，∴∠BHM=∠ABC．又∵PC为△ABC的外接圆的切线，∴∠PCB＝∠BAC．∴∠AHM=180°－∠BHM=180°－∠ABC=∠BAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝∠ACP．又∵COS∠CAH＝COS∠PCM，∴AHCMHMACPCPC,∴△AHM∽△ACP.∴∠BAM=∠CAP.15、证明：(1)由21212()0ayyayy，有12()()0ayay．得1ya或2ya．不妨设y1＝－a，由点A1在抛物线上知211aambmc这表明一元二次方程有实数根，从而，有△＝24()baac≥0故24bac≥240a因此，抛物线2yaxbxc（a≠0）必与x轴有两个不同的交点。（2）由（x1，0）、（x2，0）为抛物线与x轴的交点知212()()axbxcaxxxx即122()()1mxmx因为x1、x2、m1均为整数，则有111211mxmx或111211mxmx即112111xmxm或112111xmxm两种情况均有121212121xxmxxm同理，若2ya，则存在m2使上式成立。故m1、m2中必有一个mi（i＝1或2），使得1221221iixxmxxm。2011年黄冈中学自主招生考试数学试卷命题：李明利一、填空题（4085分）1、方程组2621133yxyx的解是2、若对任意实数x不等式bax都成立，那么a、b的取值范围为3、设21x，则2212xxx的最大值与最小值之差为4、两个反比例函数xy3，xy6在第一象限内的图象点1P、2P、3P、…、2007P在反比例函数xy6上，它们的横坐标分别为1x、2x、3x、…、2007x，纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数，过1P、2P、3P、…、2007P分别作y轴的平行线，与xy3的图象交点依次为)','(111yxQ、)','(222yxQ、…、),('2007'20072007yxQ，则20072007QP5、如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是6、有一张矩形纸片ABCD，9AD，12AB，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是7、已知3、a、4、b、5这五个数据，其中a、b是方程0232xx的两个根，则这五个数据的标准差是8、若抛物线1422ppxxy中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为二、选择题（4085分）9、如图，ABC中，D、E是BC边上的点，1:2:3::ECDEBD，M在AC边上，2:1:MACM，BM交AD、AE于H、G，则GMHGBH::等于()A、1:2:3B、1:3:5C、5:12:25D、10:24:5110、若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是()A、rcr2B、rcrC、rcr2D、22rcr11、抛物线2axy与直线1x，2x，1y，2y围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是()A、141aB、221aC、121aD、241a12、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需15.3元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需2.4元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需()A、2.1元B、05.1元C、95.0元D、9.0元13、设关于x的方程09)2(2axaax，有两个不相等的实数根1x、2x，且1x12x，那么实数a的取值范围是()A、112aB、5272aC、52aD、0112a14、如图，正方形ABCD的边1AB，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是()A、12B、41C、13D、6115、已知锐角三角形的边长是2、3、x，那么第三边x的取值范围是()A、51xB、135xC、513xD、155x16、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了%x，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了%x，则第三季度的产值比第一季度增长了（）A、%2xB、%21xC、%%)1(xxD、%%)2(xx三、解答题17、（15分）设m是不小于1的实数，关于x的方程033)2(222mmxmx有两个不相等的实数根1x、2x，（1）若21x622x，求mr值；（2）求22212111xmxxmx的最大值。18、（15分）如图，开口向下的抛物线aaxaxy1282与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使OCA∽OBC，（1）求OC的长及ACBC的值；（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式。19、（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱工时213141产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？20、（10分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率。21、（15分）如图，已知⊙O和⊙'O相交于A、B两点，过点A作⊙'O的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙'O于E、F，EF与AC相交于点P，（1）求证：PFPCPEPA；（2）求证：PBPFPCPE22；（3）当⊙O与⊙'O为等圆时，且5:4:3::EPCEPC时，求PEC与FAP的面积的比值。