高考复习-二项式定理

单三步单三步1、掌握二项式定理的概念、通项、展开式；2、掌握并会应用二项式定理。单三步单三步(a+b)2＝(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20,则a2前的系数为C20(a+b)2=a2+2ab+b2＝C20a2+C21ab+C22b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b32)ba（222baba3)(ba322333aababb单三步单三步(a+b)4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？问题：1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数单三步单三步a4a3ba2b2ab3b4都不取b取一个b取两个b取三个b取四个b项系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44b43)．你能分析说明各项前的系数吗？单三步单三步发现规律：对于（a+b）n=个n)ba()ba)(ba(的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个括号中取b(其余括号中取a)的组合数.那么，我们能不能写出(a+b)n的展开式？rnC将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？归纳提高引出定理，总结特征011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb单三步单三步二项展开式定理:一般地，对于nN*，有：011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，该项是指展开式的第项，展开式共有_____个项.rnC展开式二项式系数rrnrnbaCr+1n+11(0,1,2,)rnrrrnTCnabr单三步单三步2.二项式系数规律：nnnnnCCCC、、、、2103.指数规律：（1）各项的次数和均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0，第二项b的次数由0逐次升到n.1.项数规律：展开式共有n+1个项)(Nn011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb二项展开式定理:单三步单三步特别地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…+(-1)rCnan-rbr+…+(-1)nCnbn01rnn)11(n2nnnrrnnnnxCxCxCxCx22111）（01CCCnnnn3、)(Nn011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb二项展开式定理:单三步单三步411)1x：展开（＋例注：1）注意对二项式定理的灵活应用2）注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数为；项的系数为：二项式系数与数字系数的积rnC解:41223344411111)1()()()CCCxxxx（[phone]()1.Cxxxxx单三步单三步61()6223xx：展开，并求第项的二项式系数和第例项的系数.解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2)(2)(2)xCxCxCxx1=[(24256666(2)(2)]CxCxC32236012164192240160xxxxxx=第三项的二项式系数为2615C第六项的系数为5562(1)12C单三步单三步7)3x:(1)求（1+2的展开式的第例4项的系数931)xxx(2)求（的展开式中的系数和中间项解:37333317(1)1(2)280TCxx第四项系数为2809921991(2)()(1)rrrrrrrTCxCxx339923,84rxC3由得r=3.故的系数为(-1)4944419595551915,6,()70170()TCxxxTCxxx中间一项是第项单三步单三步(2)：由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23(x例4(1)：试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx单三步单三步解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：882443188311122rrrrrrrrxTCCxx由题意可知，244063rr故存在常数项且为第7项，常数项86660781172TCx常数项即项.0x例4(1)：试判断在的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.8312xx单三步单三步100,,.236,0100.0,6,12,,96,17.rrTrr均为整数时为有理数为的倍数且即r为展开式中共有项有理项解：的展开式的通项公式为：1003)23(x10010010033211001003232rrrrrrrrTCxCx012100r，，，，点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高.有理项即整数次幂项(2)：由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23(x单三步单三步练习：1、求的展开式常数项93()3xx1999219931()()()333rrrrrrrrrxTCCxx06.rr1由9-r-得26966791()322683TC解:单三步单三步2、求的展开式的中间项93()3xx解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项4944354193()()423xTTCxx35955265193()()423xTTCxx单三步单三步课堂小结：①二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好展开式的规律，利用它对二项式展开，进行相应的计算与证明；②要注意“系数”、“二项式系数”等概念的区别与联系，对二项式展开式的特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式.单三步