4.5.2《相似三角形判定定理的证明》

北师大九年级上册1、相似三角形的定义如果那么ΔABC∽ΔA/B/C////,,CCBBAA//////CAACCBBCBAABAC/B/A/CB对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形的对应角相等,对应边成比例。2、相似三角形的性质:3、相似三角形对应边的比叫做两个相似三角形的相似比ABCDE4、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。5、相似三角形判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.ACBDEΔABC∽ΔADEDE∥BC分析:要证两个三角形相似，目前只有两个途径。一个是三角形相似的定义，（显然条件不具备）；二是学过的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？A1、命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢?BCA/C/B/已知：在△ABC和△A/B/C/中,//,BBAA求证:ΔABC∽△A/B/C/证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。BC/判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：“有两个角对应相等的两个三角形相似。”ACA/B/DE∵AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ΔADE≌ΔA/B/C/，∴∠ADE=∠B/，又∵∠B/=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。∴ΔA/B/C/∽ΔABC夹角相等----用判定定理2第三边也成比例---用判定定理3另一对等角---用判定定理1夹边成比例---用判定定理2有一对直角---用直角三角形相似的判定定理有一对等角,找有两对应边成比例,找例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=400，∠B=800，∠E=800，∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEFB证明：∵在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，∴∠C=1800－∠A－∠B=1800－400－800＝600∵在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600∴∠B=∠E，∠C=∠F∴ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。AFECD400800800600600例2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。证明:∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，此结论可以作为相似定理”,今后可以直接使用.∴ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似）。同理ΔCBD∽ΔABC。∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。求证：ΔABCΔACD∽ΔCBD。∽•例3.在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方向走４０Ｍ到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方向继续走１５Ｍ到达Ｄ处，再右转９０度走到Ｅ处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得ＤＥ＝２０Ｍ，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你算出结果（要求给出解题过程）ＢＡＣＤＥ例4、如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且那么你能得出那些结论？ADABAEACABCDE(1)△ADE∽△ABC(2)∠ADE=∠ABC(3)DE∥BC(4)DEADBCAB1、判断题：⑴所有的直角三角形都相似.（）⑵有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.（）⑶所有的等边三角形都相似.（）⑷所有的等腰直角三角形都相似.（）⑸顶角相等的两个等腰三角形相似.（）⑹有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）×√√√√×应用新知：想一想AEDBC3,下图中添加一个什么条件，可使△ADE∽△ABCABCDEABCEDABCDE2、如图1，已知DE//BC,则△∽△。可得比例式为：。ADEABCAD：AB=AE：AC=DE：BC平截型——平行截相似斜截型——斜截构相似∠ADE＝∠B，或∠AED=∠C，或AE:AC=AD:AB4、如图，在ΔABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与ΔABC相似？ABCDEBCADE（提示：图有两种可能）DE∥BC∠ADE=∠C或∠AED=∠B5,已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出。ABCDE（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；FAFEDC答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.常用的成比例的线段：常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACD2ACADAB2BCBDAB2CDADDBACBCABCDBDAC２、相似三角形的判定定理：①有两个角对应相等的两个三角形相似。直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。１．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似。③三边对应成比例的两个三角形相似②两组对应边的成比例，且夹角相等的两个三角形相似